关于矩阵多项式Jordan标准形刻画

第2 7 卷第l 期 2 0 2 4 年1 月 高等数学研究 S T U D I E SI NC O I 。I 。E ( ；EM A T H E M A T I C S V 0 1 ．2 7 。N o ．1 J a n ．．2 0 2 4 关于矩阵多项式J o r d a n 标准形刻画 任芳国，王甜甜 ( 陕西师范大学数学与统计学院，陕西西安7 1 0 1 1 9 ) 摘要本文利用矩阵运算、矩阵相似关系及矩阵的秩，深化了J o r d a n 矩阵的性质，并在此基础上刻画了矩阵J o r d a n 标准形中J o r d a n 块的个数及阶数，最后讨论了矩阵多项式J o r d a n 标准形，充实了高等代数中J o r d a n 标；隹形的 结果． 关键词J o r d a n 矩阵；矩阵相似关系；矩阵的秩；矩阵多项式 中图分类号0 1 5 1 ．2 1文献标识码 人 文章编号1 0 0 8 —1 3 9 9 ( 2 0 2 4 ) 0 1 一0 0 1 8 —0 4 O nt h eJ o r d a nS t a n d a r dF o r mo fM a t r i xP o l y n o m i a l s R E NF a n g g u oa n dW A N GT i a n t i a n ( S c h o o lo fM a t h e m a t i c sf l n ( { S t a t i s t i c s ，S h a a n x iN o r m a lU n i v e r s i t y ，X i ’a n7 1 0 0 6 2 ，C h i n a ) A b s t r a c tT h i sa r t i c l eu s e sm a t r i xo p e r a t i o n s ，m a t r i xs i m i l a r i t yr e l a t i o n sa n dm a t r i xr a n kt od e e p e nt h e p r o p e r t i e so ft h eJ o r d a nm a t r i x ．T h en u m b e ra n do r d e ro fJ o r d a nb l o c k si nJ o r d a nc a n o n i c a lf o r ma r e d e s c r i b e d ．F i n a l l y ，w ed i s c u s st h eJ o r d a nc a n o n i c a lf o r mo fm a t r i xp o l y n o m i a l s ，w h i c he n r i c h e dt h er e s u l t s o fJ o r d a nc a n o n i c a lf o r mi nH i g h e rA l g e b r a ． K e y w o r d sJ o r d a nm a t r i x ，s i m i l a r i t Y ，r a n k ，m a t r i xp o l y n o m i a l 1 引言 J o r d a n 矩阵是一种具有良好性质的形状特殊 的重要矩阵1 _ 2 ，通过高等代数门的学习知道，复数 域上任何一个n 阶方阵A 都与一个J o r d a n 矩阵相 似，且这个J o r d a n 矩阵除去其中J o r d a n 块的排列 顺序外由方阵A 唯一决定．J o r d a n 矩阵是矩阵相似 关系巾一种形式比较简单的相似标准形，矩阵理 论口。1 巾相当一部分内容都能看作是J o r d a n 标准 形的应用，因此J o r d a n 矩阵是高等代数教学及矩阵 理论的核心内容之一L 1 ⋯．求矩阵J o r d a n 标准形也 是高等代数教学的重点与难点，同时也是数学专业 硕士研究生入学考试命题的热点问题之一L ⋯．本文 在高等代数教学的基础上，主要讨论J o r d a n 矩阵的 收稿日期 基金项目 作者简介 通讯作者 2 0 2 2 —0 I —I9 修改日期：2 0 2 3 —0 1 —1 8 国家自然科学慕金资助项目( 1 】4 7 12 0 0 ) ． 仟芳国( 19 6 8 ) ．男．陕西乾县，博士．副教授，研究方向 为矩阵理沦及应用．E m a i l ：r f a n g g u o @ s n n u ．e d u ．c n 工甜甜( 1 9 9 7) ，女．陕西愉林市，硕士研究牛，研究方 向为矩阵论及应用．E m a i l ：1 7 4 2 9 3 7 7 7 0 @ Q Qc o n l 性质及应用，并研究了利用矩阵的秩计算矩阵J o r — d a n 标准形的理论基础及方法，深化了矩阵J o r d a n 标准形的计算，旨在加深学生对矩阵相似关系及 J o r d a n 矩阵的理解和掌握，提高学生学习高等代数 的能力并能以J o r d a n 矩阵为工具讨论矩阵中的其 它问题． 为了叙述方便，我们对文巾符号进行约定： c ”“’表示所有，w ×门阶复矩阵做成的集合；A 7 ，r ( A ) 分别表示矩阵A 的转蚩和A 的秩；J ，，表示”阶单位 矩阵；E 。表示第( i ，j ) 位置元素为1 其余位置元素 全为0 的”阶方阵，并约定E ，，一0 ，j ”或E ，，一0 ， i 1 1 ，e ，∈c ～j 一1 ，⋯，1 1 ) 表示基本单位向量，即e ， 是第j 个分量为l 其余分量为0 的钾维列向量．其 它未作说明的符号及概念参见文献[ 1 ] ． 为了本文讨论更方便需要引入以下定义和引理． 定义1 [ 2 1设A 是A 阶方阵，A 是A 的一个特征 值，足是一个正整数，约定r ( A —A I ，，) 。一九，咄( A ，A ) 一 r ( A - - A I 。) 卜1 一r ( A - - 2 1 。) ‘，称叫^ ( A ，A ) 为矩阵A 关于特征值A 的W e y r 特征． 引理1u ( J o r d a n 分解) 设A ∈C “”，则存在可 万方数据 第2 7 卷第1 期任芳国，下甜甜：关于矩阵多项式J o r d a n 标准形刻画1 9 逆矩阵P ，使得A —P t ，P，其中J 是J o r d a n 矩阵． 引理2u 设A ∈C “”，则A 的最小多项式Ⅲ。 ( ^ ) 等于A 的第“ 个不变凶子d “A ) ． 2 主要定理 首先总结归纳J o r d a n 块的性质． 定理1 设A ∈c 以”，厂( 工) ∈C [ z ] ． ( 1 ) 如果A —t ，，，( 0 ) ，则r ( A ‘) 一”是，其中1 ≤ 足≤”且A ”7 —0 ( Ⅲ≥”) ； ( 2 ) 如果A —t ，，，( A 。) ，则 厂( A ) 一葛学^ ⋯0 0 ． 厂( ) 一∑L 1 孚业l ，。( ) ‘． ^ O^ = ： 证明( 1 ) 由于A 一∑E 。，以及 E 。E 。一( e ，e f ) (