关于外积与反对称矩阵的关系探讨与应用

第2 7 卷第1 期 高等数学研究V 0 1 ．2 7 。N o ．1 2 0 2 4 年1 月S T U D I E SI NC ( ) I 。l 。E ( j EM A T H E M A T I C S J a n ．．2 0 2 4 —————————————————————————————————————————————————一 d o i ：1 0 ．3 9 6 9 ／j ．i s s n ．1 0 0 8 —1 3 9 9 ．2 0 2 4 ．0 1 ．0 3 1 关于外积与反对称矩阵的关系探讨与应用 关惰 ( 电子科技大学1 浩1 ，李厚彪2 ， 经济与管理学院，2 摘要 本文基于外积与反对称矩阵之间的 杂的几何变换．转换为容易编程的矩阵乘法． 关键词反对称矩阵；外积 中图分类号( ) l j l 文献标识码 A 红2 ，王转德2 学科学学院，四川成都6 1 1 7 3 1 ) 关系- 探讨三维空间中的绕轴旋转、投影和反射变换的矩阵描述，将复 并进一步将其推广到一般曲面的变换中，具有一定实用价值． 文章编号 1 0 0 8 —13 9 9 ( 2 0 2 , 1 ) 0 1 —0 118 —0 3 O nR e l a t i o n s h i pb e t w e e nO u t e rP r o d u c ta n dA n t i s y m m e t r i cM a t r i c e s Z H E N GH a 0 1 ，L IH o u b i a 0 2 ，L IH o n 9 2 ，a n dW A N G Z h u a n d e 2 ( 1 ．S c h o o lo fM a n a g e m e n ta n dE c o n o m i c s 。2 ．S c h o o lo fM a t h e m a t i c sS c i e n c e s ，U n i v e r s i l y o fE l e c t r o n i cS c i e n c ea n dT e c h n o l o g yo f C h i n a ．C h e n g d u6 1 1 7 3 1 ，C h i n a ) A b s t r a c tB a s e do nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e no u t e rp r o d u c ta n da n t i s y m m e t r i cm a t r l ‘X ，t h i sp a p e rd i s c u s s e s t h em a t r i xd e s c r i p t i o n so ft h er o t a t i o n ，p r o j e c t i o n ，a n dr e f l e c t i o n t r a n s f o r m a t i 。n si n3 1 ) ，w h i c ht u r nt h e g e o m e t r i ct r a n s f o r m a t i o n si n t om a t r i xm u l t i p l i c a t i o n sa n dc a nb ee a s i l yp r o g r a m c d ．T r a n s f o r m a t i o n so f g e n e r a ls u r f a c e sa r ed i s c u d d e sa sw e l l ，w h i c hh a sc e r t a i np r a c t i c a lv a l u e ． K e y w o r d sa n t i s y m m e t r i cm a t r i x ，o u t e rp r o d u c t 引言 定义1 。1 给定两个i 维向量P 和Q ．它们的 外积记为P ×Q ，为了容易记忆，我们通常将外积的 计算公式写成如下伪行列式形式： i J k PXQ 一＼P ! P ，P ： Q ，Q 、．Q ： 其中i ，J 和k 分别是i 个单位基向量． 另外，在文献[ 2 ] 中，外积还能够表示成一个基 于向量P 的线性变换： 定义2 o 2 。。o 令’，一( 口，卢，y ) ，工一( n y ，2 ) 为三维空 问中的任意向量，将向量X 看作列向量，则存在一个 3 ×3 的矩阵A 。，使得v ×工，一A 。z ，其中 收稿日期 基金项目 通讯作者 2 0 2 2 —0 2 一0 8 修改日期：2 0 2 2 —0 4 —16 高等学校大学数学教学研究与发展巾心教学改革项目 ( C M C 2 0 2 1 0 2 0 1 ) ，电子科技大学教学研究项目 ( 2 0 2 1 K C S Z 0 1 6 2 ) ． 李厚彪，男．博士．教授，从事数值代数与图像处理研究． E m a i l ：l i h o u b i a o O l 8 0 @ l6 3 ．c 0 1 1 1 ≤d ] 为向量’，中的量构成的一个反对称矩阵． 因此反对称矩阵与向量外积之间是否存在某种 特殊的关系? 反对称矩阵又有那些性质和应用? 本 文拟从目前相关知识出发，整理归纳反对称矩阵与 向量外积的一些关系，并探讨反对称矩阵在解决空 间向量问题上的一些应用． 2 主要结果 首先，上述结论( 1 ．2 ) 也可推广到一般”阶反对 称矩阵上． 推论1设A 为“ 阶反对称实矩阵，x 是”维 列向量，且j ，一A Y ，则X 与Y 正交． 证明 设A 为n 阶反对称矩阵，X 是咒维列向 量，且Y = A x ，则x 与Y 正交： 一( y ，z ，可知( z ，y 一0 ． 李数 、 一 O d o y 叩 —．．．．．．．．．．．．，．．．．．．．．．．．．．L — A 万方数据 第2 7 卷第1 期郑浩，李厚彪，李红，下转德：关于外积与反对称矩阵的关系探讨与应用1 1 9 眦扩雕圳卦㈦s ， 一『f 摹6j 。‘“] 2 + J ] f 喜1 崔} i ；1 【i ] ． P 一铲f 乏篓l1 ．㈦4 ， 一 A i x — f 譬6j 。‘“1 x — f6妻三一。一≤- ，一j 0 6 。1 x ． P 一『乏篓篓1 ． 了解上述结论以及推论将为我们在解决正交投 影问题时提供方便，让我们来看一个例题． 例1计算向量x 一( 1 ， 2 ，3 ) 向平面XY + 2 z 一0 的正交投影P ． 解南已知平面可得平面的一个法向量( 1 ， 1 ，2 ) ，单位化得 n 一( 每，一每，每) 1 ． 冉利用( 2 ．4 ) 可得 P —A i 1 ———●_ —— 3 1 _ _ _ —— 3 1 _ _ _ —— 3 下面我们考虑三维空间内向量旋转问题( 如图 l 所示) ，不妨设，旋转轴为单位向量n 一( “，b ，C ) 1 ， 是切平面内正交向量M 和W 所形成的外积．旋转向 量x 在切平面内的投影为H ．那么以n 为旋转轴，向 量X 旋转口角度时，所对应的旋转变换R