广义矩阵代数上的一类非线性局部可导映射

第6 2 卷第1 期 2 0 2 4 年1 月 吉林大学学报( 理学版) J o u r n a lo fJ i l i nU n i v e r s i t y ( S c i e n c eE d i t i o n ) V 0 1 ．6 2N o ．1 J a n 2 0 2 4 广义矩阵代数上的一类非线性局部可导映射 侯习武，张建华 ( 陕西师范大学数学与统计学院，西安7 1 0 1 1 9 ) 摘要：设留一留( 彰，埘，∥，国) 是一个广义矩阵代数，西：留一够是一个映射( 无可加性假设) ．利用 代数分解的方法，证明：如果对任意的x ，y ∈留，且x 和l ，至少有一个是幂等元时，西( x y ) 一 声( x ) y + 郑( y ) 成立，则≠是够上的可加导子． 关键词：局部可导映射；导子；广义矩阵代数 中图分类号：0 1 7 7 ．1文献标志码：A 文章编号：1 6 7 1 —5 4 8 9 ( 2 0 2 4 ) 0 1 一0 0 2 9 一0 6 AC l a s so fN o n l i n e a rL o c a lD e r i V a b l eM a p so n G e n e r a l i z e dM a t r i xA l g e b r a s H O UX i w u ，Z H A N GJ i a n h u a ( S c 矗D o Zo 厂M n ￡矗P 7 托n ￡i f sn n dS f 口￡i s ￡i c s ，1 s ^ 盘口挖z iN o r m n ZU ，z i 剐e r s i f y ，X i ’以挖7 1 0 1 1 9 ，C ^ i 咒a ) A b s t r a c t ：L e t 够一够( 西，埘，√忆历) b eag e n e r a l i z e dm a t r i xa l g e b r a ，a n d 乒：留—} 够b eam a p ( w i t h o u tt h e a s s u m p t i o no fa d d i t i V i t y ) ．U s i n gt h em e t h o do fa l g e b r a i cd e c o m p o s i t i o n ，w ep r o v e dt h a ti f ≠( X y ) 一 声( X ) y + X 声( 1 ，) h e l df o ra n yX ，l ，∈够a n da t1 e a s to n eo fX a n dl ，w a si d e m p o t e n t ，t h e n 乒w a sa n a d d i t i v ed e r i v a t i o no n 够． K e y w o r d s ：l o c a ld e r i v a b l em a p ；d e r i v a t i o n ；g e n e r a l i z e dm a t r i xa l g e b r a 1引言与预备知识 近年来，关于环和代数上各类局部可导映射的研究备受关注口。1 1 | ．例如：H o u 等口1 研究了素环上 的幂等元处可导映射；孟利花等[ 2 1 研究了三角代数上的幂等元处非线性可导映射；W o n g 等口1 证明了 上三角矩阵代数上的零点非线性可导映射可以写成内导子和可加导子之和；W a n g [ 4 3 在阶数大于3 的 全矩阵代数上给出了零点非线性可导映射的具体结构；A n 等口1 对v o nN e u m a n n 代数上的Q 点可导映 射进行了刻画．受上述研究工作启发，本文主要研究广义矩阵代数上的一类非线性局部可导映射． 设R 是一个交换幺环，西是一个定义在R 上含单位元的代数，Q 是西中的一固定元，西是姐上的 映射．若对任意的x ，y ∈西，映射岱( 无可加性假设) 满足 声( x y ) 一声( x ) l ，+ 郑( 1 ，) ， ( 1 ) 则称≠是彰上的导子．进一步，如果j I 还满足可加性，则称≠是应上的可加导子．若对任意的x ，y ∈西 且x y —Q 时，映射≠( 无可加性假设) 满足式( 1 ) ，则称≠是彰上的Q 点非线性可导映射．进一步，如果 声还满足可加性，则称声是西上的Q 点可导映射． 收稿日期：2 0 2 3 一0 4 —1 2 ． 第一作者简介：侯习武( 1 9 9 8 ) ，男，土家族，硕士研究生，从事算子代数的研究，E —m a i l ：1 8 3 7 2 5 2 6 9 6 0 @ 1 6 3 ．c o m ．通信作者 简介：张建华( 1 9 6 5 ) ，男，汉族，博士，教授，博士生导师，从事算子代数的研究，E - m a i l ：j h z h a n g @ s n n u ．e d u ．c n ． 基金项目：国家自然科学基金( 批准号：1 1 7 7 1 2 6 1 ) ． 万方数据 设R 是交换幺环．一个M 。r i t ac 。n t e x t 包括两个单位R - 代数西和历，两个双模( 西，历) 一双模彪和 ‘历，奶一双模以两个称为双线性对的双模同态‰：咆肛髟和‰：∥9 彪一毋，且成立如下交换图： 洲o ∥o 挑鱼笪鲺以。础 留以以 ‰钏 ～竺I t● 以。留—二础 记上述M o r i t ac o n t e x t 为( 西，留，彪，以‰，‰) ．集合 [ 菇鞘巴 按通常的矩阵加法和下述乘法运算： ∥o 以o ∥旦监留o ∥ ^ 霹苗 h @ ％I竺f ∥o 以—三一∥． ：口∈彰，m ∈以，H ∈以6 ∈毋l G ：：] G i 乏] 一r m 2 ：篡：j 粤勘) ‰。三：老：3 1 辜啪。] ， 构成一个R 代数．若( 彭，彩，埘，以‰，‰) 构成一个M o r i t ac o n t e x t ，且孵。或孵o ， 称为广义矩阵代数，记作够一够c 西，埘，以历，一[ 菇秀] ． 设1 目，1 m 分别是彤和历的单位元，记 则上述R _ 代数 耻瞄≯耻Gn 耻啦c ·≤纫≤2 ，． 则在同构意义下够一，主乏。‰一彰+ 埘+ 以+ 历，且( 豇毋) 双边模么同构于( 够¨，％。) 双边模够㈨( 甥，翊) 双边模∥同构于( 够。。，够，，) 双边模够：，． 2 主要结果 引理l 对任意的1 ≤i ≠歹≤2 ，有： 1 ) 声( 0 ) 一0 ； 2 ) 拳( P i ) 一P 。乒( P ：) 只+ P ，乒( P ：) P ：； 3 ) ≠( P ：) + 乒( P ，) 一0 ． 证明：取X —y —O ，则声( 0 ) 一0 ．取x —P ：，y 一只( 1 ≤i ≠歹≤2 ) ，则 0 一P ( O ) 一声( P z P ，) 一声( P 。) 只+ P ：庐( 只) 一P ：庐( P ：) 只+ P j 声( P ，) P J + P 。声( B ) P i + P 。声( P ，) P j ． P z 声( 只) P 。一0 ， P ：1 5 ( P ：) P ，+ P ：庐( 只) P J 一0 ．( 2 ) 取x —P i ，l