2010年全国大学生数学建模竞赛a题论文.doc

1 储油罐变位识别与罐容表标定问题探究 摘要本文研究储油罐的变位识别问题和罐容表标定问题，利用实验数据建立数学模型， 成功建立了储油罐在已知变位下的罐容表，并实现了对未知变位参数的实际储油罐的 变位识别，在实际工程中具有重要的现实意义。 针对问题一，根据立体几何割分积分原理求解理论解析式，定义了残差修正函数， 建立了自修正积分标定模型，利用 软件编程进行求解，得到了储油罐罐体变 MATLAB 位前后油位高度间隔为 1cm 的罐容标定表。随后对各项指标进行了敏感性分析得到 时储油量容积对油位探针位置的变化不敏感，储油量容积对纵倾角 的变化较 =4.1 o   敏感。分析了模型稳定性分析并对结果的误差进行残差检验，得到最大相对误差值的 绝对值小于 0.4%，由此验证了模型的准确性和合理性。针对问题二，根据立体几何割分积分原理，得到隐式关系式，建立隐式积分变位 识别模型，根据最小二乘拟合原理，设计了自适应搜索算法，得到储油罐的纵向倾斜 角 ，横向偏转角 ；并建立了该变位下油位高度间隔为 10cm 的罐容 2.09    4.19    标定表。随后对模型进行敏感性分析分析了模型对横向偏转角 和纵向倾斜 的敏感   性，分析了模型稳定性，并对模型结果进行了残差检验，得到最大相对误差值为 5.4538%，90.7%的相对误差值落在（-2%，2%）之内，由此可得模型具有较高的准确 性和可靠性。鉴于隐式关系表达不具有直观性，利用 MATLAB 对储油量 与显示油 V 高、 、 三者的关系进行了拟合，得到了显式的函数关系式。  最后，对储油罐定位和标定问题进行了深入分析，讨论了不同的建模方式，对算 法进行探究设计，并分析了造成罐容表标定误差的具体原因。 关键词：残差修正 自修正积分标定模型 自适应搜索算法 隐式积分变位识别模型 2 1 问题重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位 计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过 预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐 内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾 斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定， 需要定期对罐容表进行重新标定。 请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）利用已知数据，建立数学模型研究椭直圆筒罐体变位后对罐容表的影响，并 给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参 数之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的 数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进 一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 2 问题分析 储油罐属于规则几何体，因此可以利用数学积分的方法分别建立储油罐变位前后 罐内油量体积的函数表达式，由此可得出理想条件下储油罐内油位高度和储油量的对 应关系。但在实际中，由于储油罐内存在油位探针、注油管、储油罐等附属部件，这 些部件都在储油罐中占用一定体积，因此实际用于标定的罐容表与理论值之间必然存 在一定的偏差，为尽量找出合理的罐容表，可以利用拟合的方法找出理论值与实际值 之间的差值与油位高度之间的关系，并利用这个关系对罐容表进行校正即可得到罐容 表的表达式。 对于问题二，两端连接球冠的实际球冠储油罐的变位标定问题，先利用几何积分 求出变位前实际储油罐在任意油位高度下的储油量，同时考虑横向偏转和纵向倾斜建 立球缺顶储油罐内油的体积的理论表达式，编程求解即可。 由于在油罐倾斜和偏转情况下油罐中油的体积理论推导存在很大困难，因此如何 正确有效地建立倾斜后储油罐中有的体积的理论表达式并设计算法求解成为模型建立 的关键。 3 模型假设及符号说明 3.1 模型假设根据本问题建立如下合理假设： 1. 假设油罐的变位是小角度变位，未超出安全变位区间； 2. 假设显示油高为浮漂中心轴处的油高，不考虑浮漂半径的影响； 3. 假设储油罐为理想几何体，油罐内壁光滑，且不考虑储油罐的油压变形； 4. 假设所有测量数据为同一实验温度下测量得到，不考虑温度对储油量的影响。3 3.2 符号说明 符号 说明 单位  油罐的纵向倾斜角度，以罐体左低右高为正变位 度 s h 显示油位高度 m ( ) S h 任意圆截面上油位浸没高度为 时的截面面积 h2 m 1 L 油位探针距储油罐左端的距离 m a 椭圆长半轴 m b 椭圆短半轴 m R 球冠半径 m r 直圆筒半径 m L 椭圆体部分的总长 m  横向倾斜角 度 0 V 理论计算体积 3 m 1 V 底部不可标定体积 3 m 2 V 顶部不可标定体积 3 m ( ) V n  计 计算油量差分序列 3 m ( ) V n  实 理论油量差分序列 3 m 4 问题一模型的建立和求解 4.1 建模分析 图1 问题一建模思路图 对于两端平头的椭圆形储油罐的变位标定问题，根据建模思路图（图1） ，可先利4 用几何积分分别计算出变位前后任意油位高度下储油罐的储油量；然后计算出变位前 罐容表理论值与已知实验数据的残差，拟合出残差与油位高度之间的一一对应关系， 将其定义为校正函数；因此储油罐的标定函数即为理论积分函数与校正函数的代数和。 同理可表示出变位后储油罐的标定函数，对两个函数进行减法运算即可得到变位对罐 容表的影响，最终建立罐容表自修正积分标定模型。 4.2 模型建立 4.2.1 理论积分模型的建立根据立体几何割分积分思想，分别建立无变位情况（ ）和任意纵向倾角 0   下储油罐储油量 与显示油位高度 之间的函数关系式。  0 V s h a 理论基础 图2 空间坐标建立示意图 对于任一椭圆截面，如图2，将 轴沿罐的纵向固定在罐壁上，建立如图所示空间 z 坐标系，若椭圆截面长轴为 ，短轴为 ，储油罐长度为 ，则椭圆的曲线方程可 2a 2b L 表示为： 2 2 2 2 ( ) 1 x y b a b    引入参数 ，则该式变换为：  cos(1) sin x a y b b         在倾斜角 作用下，罐壁与水平面之间也存在一个夹角 ，图示阴影部分面积可   用积分表示为 ，代入参数公式 ，则： 0 ( ) 2 h S h xdy   (1) 0 0 0 2 2 1 ( ) 2 2 cos cos ( sin 2 ) | (2) 2 h S h xdy a b d ab                  5 其中 为中间参数， 为油位浸没高度，且 ， 为 0 arcsin h b b    h (0,2 ) h b  a 椭圆的长半轴， 为椭圆的短半轴。 b b 计算任意 值对应下的油位浸没高度 z ( ) h z 如图 2,在倾斜角度 下，当罐内油量一定时，油罐