行程问题答案及详解

关于行程问题关于行程问题 一、为什么小学生行程问题普遍学不好一、为什么小学生行程问题普遍学不好 1、 行程问题的题型多，综合变化多。 行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。涉及 两个物体运动的，又有“相向运动” （相遇问题） 、 “同向运动” （追及问题）和“相背运动” （相 离问题）三种情况。行程问题每一类型题的考察重点都不一样，往往将多种题型综合起来考 察。比如遇到相遇问题关键要抓住速度和，追击问题则要抓住速度差，流水行船中的相遇追 及问题要注意跟水速无关等等。 2、 行程问题要求学生对动态过程进行演绎和推理。 奥数中静态的知识学生很容易学会。打个比方，比如数线段问题，学生掌握了方法，依 葫芦画瓢就行。一般情况，静态的奥数知识，学生只要理解了，就能容易做出来。行程问题 难就难在过程分析是动态的，甲乙两个人从开始就在运动，整个过程来回跑。学生对文字题 描述的过程很难还原成对应的数学模型，不画图，习惯性的在脑海里分析运动过程。还有的 学生会用手指，用橡皮模拟，转来转去往往把自己都兜晕了还是没有搞明白这个过程，更别 说找出解题所需要的数量关系了。 二、行程问题“九大题型”与“五大方法”行程问题“九大题型”与“五大方法” 很多学生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常用解法也不了解，那么我给大家 归纳一下。 1 1、九大题型、九大题型 ⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题； ⑸火车过桥问题；⑹流水行船问题；⑺发车问题；⑻接送问题；⑼时钟问题。 2 2、五大方法、五大方法 ⑴公式法公式法包括行程基本公式行程基本公式、相遇公式相遇公式、追及公式追及公式、流水行程公式流水行程公式、火车过桥公式火车过桥公式， 这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种 变形形式，而且有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件。 ⑵图示法图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意 图包括线段图、折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、 追及的地点。另外在多次相遇多次相遇、追及问题追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。 ps 画图的习惯一定要培养起来， 图形是最有利于我们分析运动过程的， 可以说图画对了， 意味着题也差不过做对了30 ⑶比例法比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体 数值数值。更重要的是，在一些较复杂的题目中， 有些条件有些条件 如路程、速度、时间等如路程、速度、时间等 往往是不确定往往是不确定 的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题。 ps运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且要考都不简单。 ⑷分段法分段法在非匀速非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速 的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。 ⑸方程法方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件 关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系等量关系列方程常常可以顺利求解。 ps方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。 ⑹假设法假设法在速度发生变化、或提前（晚）出发等数值发生变化的的行程问题中，假设 速度没变或时间统一，往往非常起到意想不到的效果，极其有利于解决行程问题。 三、怎样才能学好行程问题三、怎样才能学好行程问题 因为行程的复杂，所以很多学生已开始就会有畏难心理。所以学习行程一定要循序渐进， 不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。学习奥数有四种境界 第一种课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。 第二种能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。 第三种能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给家长听。 第四种能够编题。就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。 其实大部分学生学习奥数都只停留在第一种境界（有的甚至还达不到） ，能够达到第三种 境界的学生考取重点中学实验班基本上没有什么问题了。而要想在行程上一点问题没有，则 要求学生达到第四种境界。即系统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。而这四种境界则是学 习行程的四个阶段，或者说是好的方法。 建议一不论是什么问题，在学习之前有必要对于要学的东西有个纵向的了解，要系统 地梳理一遍，这样有系统，有方向，学习的时候也不会迷茫。一般这个步骤需要家长和老师 一起帮助孩子完成。这样把大的目标分为不同的小的目标，各个击破，孩子也会有信心。同 时发现问题时，也可以有针对性的进行解决。 建议二需要强调一点，就是在学习过程中不能捡芝麻丢西瓜，简言之就是要在每学一 个知识的时候，都要对学过的知识进行练习。一定要要重视总结，把行程问题进行分类比较， 这样孩子对于行程问题的理解会上升一个新的高度。 建议三在学习过程中，可以积累孩子的错题，以便日后观察孩子在此部分知识点学习 过程中的薄弱环节，这样我们以后的计划会更有针对性。在制定计划时慢慢的达到量身定做 的效果。 行程问题的典型例题行程问题的典型例题 行程问题中最基本的公式就是 路程路程 速度时间速度时间，任何行程问题，不管是多么“波澜起 伏或者是一波三折” ，他的本质都是研究路程、速度、时间三者的关系，在此基础上衍生出其 他问题，在每一个方面或几个方面发生了细微的改变。 类型一相遇问题类型一相遇问题 相遇问题强调的是一个“和和”的思想，两人在时间统一的前提下， 路程和路程和 速度和时间速度和时间。 当然他的使用，不仅仅局限于相遇这个现象，只要这个题目知道了“和” ，我就可以利用这 个公式进行求解。 【例【例 1 1】】ABAB 两地两地 900900 米，甲乙两人在米，甲乙两人在A A 处同时向处同时向 B B 点出发，甲的速度点出发，甲的速度6060 米米/ /分，乙的速度分，乙的速度4040 米米/ /分，甲到达分，甲到达 B B 地后立即返回，返回途中与乙相遇，甲乙两人多长时间相遇地后立即返回，返回途中与乙相遇，甲乙两人多长时间相遇 解路程和90021800（米） 速度和6040100（米/分） 相遇时间180010018（分钟） 上面讲的是比较基本的相遇，到了高年级，可能等多的会涉及到多次或者是多人 相遇。下面来说说多次相遇多次相遇。 方法一运用倍比关系解多次相遇问题 1.两地相向出发两地相向出发 第 1 次相遇，共走 1 个全程； 第 2 次相遇，共走 3 个全程； 第 3 次相遇，共走 5 个全程； ，； 第 N 次相遇，共走 2N-1 个全程； 注意除了第 1 次，剩下的次与次之间都是 2 个全程。即甲第 1 次如果走了 N 米，以后每次 都走 2N 米。 2.同地同向出发同地同向出发 第 1 次相遇，共走 2 个全程； 第 2 次相遇，共走 4 个全程； 第 3 次相遇，共走 6