最全最新初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解

初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解 方程是一种重要的数学模型， 也是重要的数学思想之一。 有关方程的解的讨论问题一 直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、 数形结合等数学思想。 1.形如方程的解的讨论 ⑴若0，①当0 时，方程有无数个解； ②当≠0 时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为 2.关于一元二次方程 。 a  0根的讨论， 一般需应用到根的判别式、 根与系数 ，则它有一个实数根x  1。 的关系等相关知识。 ⑴若，则它有一个实数根x 1；若 ⑵运用数形结合思想将方程 a  0根的讨论与二次函数 a  0的图象结合起来考虑是常用方法。 几个基本模型几个基本模型 2 （1）设 fx ax bxca  0，则fx 0的两根x 1,x2 ，满足m  x1,x2  n的充 b m   n   2aaf m 0  要条件是， baf n  0    af     0     2a 2 （2）一般地设m n p，设f x ax bxca  0，则fx 0 的两根x 1,x2 ，满 af m 0  足m  x1 n,x2  p的充要条件是af n 0 afp 0  2 （3）一般地设 m  n  p  q设fx ax bxca  0，则fx 0的两根x 1,x2 ， afm 0  af n 0 m  x  n  p  x  q 满足的充要条件是 12 afp  0    afq 0  （4）一般地设 m n设f x ax bxca  0，则 fx 0的两根x 1,x2 ，满足 2  af m 0 x 1  m  n  x 2 的充要条件是 af n  0     3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根 即原分式方程的增根。 4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用 到数形结合思想与绝对值的几何意义。 5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概 念。 一、基础过关一、基础过关 1.方程7x2k 13xk2k 2 0有两个实数根x 1,x2 ，满足0  x 1 1,1 x 2  2，求 k的取值范围 2 2.已知关于x的方程x 2m3xm4 0的两根x 1,x2 ，满足3 x 1  2,x 2  0， 求m的取值范围 2 3.关于x的方程ax a2x9a 0的两根x 1,x2 ，满足x 1 1 x 2 ，求a的取值范围 4.方程x 2m1xm60的一个根不小于1而另一个根不大于1，求m的取值 2 范围 5.当x  2 1 1994 32017 时，多项式4x 1997x1994的值为 2 432 6.若3x  x 1,则9x 12x 2x 7x2017的值等于 24 7设x  7x  7  0，则49 7x  x 2 二、例题讲解二、例题讲解 （一）换元（一）换元 例 1方程x22x5 x1 7  0的所有根的和是 A.2B.0C.2D.4 例 2若方程p 2x  x有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是 A．p  1 B．p  0 C．1 p  0 D．1 p  0 2 例 3若2x 5x 8 2x25x1 5  0，则2x25x1的值为多少 例 4若关于x的方程 与方程的解 a5a  6有两个根相等，求a的值．例 5已知关于x的方程x25x xx 2kxkx1  2 只有一个解相等的解也算作一个，试求k的值 x1 x  x x 练习 1解下列方程 （1） x23x 2x22x8  x2 x4 3x29x  11 33 ； 21999 x x19981； 12 13x x213 x （3）x  42． x1x1 （二）降次（二）降次 2 例 6已知,是方程x  x1 0的两个实数根，不解方程，求 3的值 4 2 练习 1设x1,x2是二次方程x  x 3  0的两个根，求x1 4x219的值。 32 练习 2已知x1,x2是3x  x 1 0的两根，不解方程。 求（1）3x1x21的值； （2）9x1 6x1 6x2的值。 （三）整体代入（三）整体代入 2S 2  x 1 22017x 2 2， 例7 设二次方程ax bxc  0的两根为x 1,x2 ， 记S1 x 1 2017x 2 ， 232 2 ,S n  x 1 n 2017x 2 n，则aS 2017 bS 2016 cS 2015  （四）配偶（四）配偶 例 8 已知,是方程x 7x8  0的两根且， 不解方程， 利用韦达定理求 的值。 2 2  32 （五）反客为主（五）反客为主 例 9求所有正实数a，使得方程x ax4a  0仅有整数根。 （六）构造新方程（六）构造新方程 2 2a21234567890a3 0 a 例 10已知两数a,b,ab 1，且 2 ，则 b 3a 1234567890a2  0 练 习 1 已 知 实 数a  b， 且 满 足a 1  33a 1,3b 1  3b 1， 求 22 b ba  a 的值。 ab 22 练习 2 已知实数a,b满足a  ab b 1,且t  ab  a b， 那么t的取值范围是。 22 练习 3若a,b,c均为实数，且a b c  0, abc  2,那么| a |  |b |  | c |的最小值为 练习 4 已知p、q是有理数，x  练习 5已知 5 1 3 满足x  px  q  0,则p  q的值是。 2 1b  c b c2 a bc a且a  0，则 。 4a 练习 6已知实数a、b、c满足a  b，且1999a b  1999b  c  c  a  0,求 c bc  a 的值。 2a b 3x26x 5 练习 7当x变化时，分式的最小值是。 1 2x  x 1 2 1  3,则x43x316x23x 17的值等于 。 x 练习 9E、F 分别在矩形 ABCD 的边 BC 和 CD 上，若CEF、ABE、ADF 的面积分别是 3， 4，5，求AEF 的面积 S。 练