专题08 递推函数-妙解高考数学填选压轴题

专题08 递推函数 【方法点拨】 类比于数列的递推关系,我们把具有fx＋1＝2fx等形式的函数称为递推函数.诸如函数fx＋1＝2fx，意即变量的值增加1，其对应的函数值是原来函数值的2倍，类似函数的周期性，但有一个倍数关系．依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可．fx＝fx－11等以此类推. 【典型题示例】 例1 设函数fx的定义域为R，满足fx＋1＝2fx，且当x∈0,1]时，fx＝xx－1.若对任意x∈－∞，m]，都有fx≥－，则m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 B 【分析】作出图示，求出函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项． 【解析一】∵时，， ∴当时，，故， 同理，当时，，∴，， 当时，， ∴ 所以，当， 当时，，令， 解之得 为使对任意，都有，则m的取值范围是. 故选B. 【解析二】 当－1x≤0时，0 x＋1≤1，则fx＝fx＋1＝x＋1x；当1x≤2时，0 x－1≤1，则fx＝2fx－1＝2x－1x－2；当2x≤3时，0 x－2≤1，则fx＝2fx－1＝22fx－2＝22x－2x－3，，由此可得 fx＝由此作出函数fx的图象，如图所示.由图可知当2x≤3时，令22x－2x－3＝－，整理，得3x－73x－8＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中.要使对任意x∈－∞，m]都有fx≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B. 例2 已知函数fx是定义在[1，＋∞上的函数，且fx＝则函数y＝2xfx－3在区间1,2 015上的零点个数为________． 【答案】11 【解析一】由题意得当1≤x2时，fx＝设x∈[2n－1,2nn∈N*，则∈[1,2，又fx＝f， ① 当∈时，则x∈[2n－1,32n－2]，所以fx＝f＝，所以2xfx－3＝2x－3＝0，整理得x2－22n－2x－322n－4＝0.解得x＝32n－2或x＝－2n－2.由于x∈[2n－1,32n－2]，所以x＝32n－2； ② 当∈时，则x∈32n－2,2n，所以fx＝f＝，所以 2xfx－3＝2x－3＝0，整理得x2－42n－2x＋322n－4＝0.解得x＝32n－2或x＝2n－2.由于x∈32n－2,2n，所以无解． 综上所述，x＝32n－2.由x＝32n－2∈1,2 015，得n≤11，所以函数y＝2xfx－3在区间1,2 015上零点的个数是11. 【解法二】由题意得当x∈[2n－1,2n时，因为fx＝f，所以fxmax＝f＝.令gx＝.当x＝2n－1时，gx＝g＝， 所以当x∈[2n－1,2n时，x＝2n－1为y＝2xfx－3的一个零点． 下面证明当x∈[2n－1,2n时，y＝2xfx－3只有一个零点． 当x∈[2n－1,32n－2]时，y＝fx单调递增，y＝gx单调递减，f32n－2＝g32n－2，所以x∈[2n－1,32n－2]时，有一零点x＝32n－2；当x∈32n－2,2n时，y＝fx＝－，k1＝f′x＝－，gx＝，k2＝g′x＝－∈，所以k1k2.又因为f32n－2＝g32n－2，所以当x∈[2n－1,2n时，y＝2xfx－3只有一个零点．由x＝32n－2∈1,2 015，得n≤11，所以函数y＝2xfx－3在区间1,2 015上零点的个数是11. 【解法三】分别作出函数y＝fx与y＝的图像，如图，交点在x1＝，x2＝3，x3＝6，，xn＝32n－2处取得．由x＝32n－2∈1,2 015，得n≤11，所以函数y＝2xfx－3在区间1,2 015上零点的个数是11. 例3 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是 A． B． C．D． 【答案】B 【解析】函数，函数有4个零点，即有四个不同交点.画出函数图像如下图所示 由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，， 当时，设对应二次函数的顶点为，则，.所以.当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；故当有四个不同交点时.故选B. 【巩固训练】 1. 已知函数fx的定义域为R，且fx＝若方程fx＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________． 2. 已知函数fx＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝kx＋1k＞0与函数y＝fx的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________. 3.已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 。 4.已知函数,则方程根的个数为 . 5.已知函数的定义域为R，且，当x[0，π时，．若存在，m]，使得，则m的取值范围为 ． 6.已知函数fx是R上的奇函数，当x0时，fx＝那么函数gx＝xfx－1在[－7，＋∞上的所有零点之和为________. 7.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ） A． 4 B．6 C．8 D．10 8. 已知函数，给出下列命题，其中正确的有（ ） A．； B．方程有四个实根； C．当时，； D．若函数在上有8个零点，则的取值范围为. 9. 定义在R上的函数，恒有，当时，，若，恒有，则的取值集合为________． 10.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且.若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ） A．B．C．D． 11.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ） A．B．C．D． 【答案或提示】 1.【答案】－∞，1 【解析】x≤0时，fx＝2－x－1， 0＜x≤1时，－1＜x－1≤0， fx＝fx－1＝2－x－1－1. 故x＞0时，fx是周期函数， 如图所示． 若方程fx＝x＋a有两个不同的实数根，则函数fx的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点， 故a＜1，即a的取值范围是－∞，1． 2.【答案】 【解析】 根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，fx＝x，