2020年全国高考Ⅲ理数试题及答案

2020年高考理科数学试题及答案 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则中元素的个数为 A．2B．3C．4D．6 2．复数的虚部是 A．B．C．D． 3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A．B． C．D． 4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t的单位天）的Logistic模型，其中K为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为 A．60B．63C．66D．69 5．设O为坐标原点，直线x2与抛物线C交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为 A．B．C．D． 6．已知向量a，b满足，，，则 A．B．C．D． 7．在△ABC中，cosC，AC4，BC3，则cosB A．B．C．D． 8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A．B．C．D． 9．已知2tanθ–tanθ7，则tanθ A．–2B．–1C．1D．2 10．若直线l与曲线y和x2y2都相切，则l的方程为 A．y2x1B．y2xC．yx1D．yx 11．设双曲线C（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a A．1B．2C．4D．8 12．已知5584，13485．设alog53，blog85，clog138，则 A．abcB．bacC．bcaD．cab 二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若x，y满足约束条件则的最大值为__________． 14．的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________． 16．关于函数f（x）有如下四个命题 ①f（x）的图像关于y轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线x对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题共60分。 17．（12分） 设数列{an}满足a13，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 18．（12分） 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位天） 锻炼人次 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] （200，400] （400，600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 人次≤400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附K2， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ． 19．（12分） 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 20．（12分） 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 21．（12分） 设函数，曲线在点，f处的切线与y轴垂直． （1）求b． （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明所有零点的绝对值都不大于1． （二）选考题共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修44坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点． （1）求； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程． 23．[选修45不等式选讲]（10分） 设a，b，c∈R，，． （1）证明； （2）用表示a，b，c的最大值，证明≥． 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 选择题答案 一、选择题 1．C2．D3．B4．C 5．B6．D7．A8．C 9．D10．D11．A12．A 非选择题答案 二、填空题 13．714．240 15．16．②③ 三、解答题 17．解（1）猜想由已知可得 ， ， . 因为，所以 （2）由（1）得，所以 . ① 从而 .② 得 ， 所以 18．解（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 （2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 ． （3）根据所给数据，可得列联表 人次≤400 人次400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得 ． 由于，故有95的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 19．解设，，，如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． （1）连结，则，，，，，，得． 因此，即四点共面，所以点在平面内． （2）由已知得，，，，，，，． 设为平面的法向量，则 即可取． 设为平面的法向量，则 同理可取． 因为，所以二面角的正弦值为． 20．解（1）由题设