2021版高考数学一轮复习第九章立体几何972利用空间向量求二面角与空间距离练习理北师大版

利用空间向量求二面角与空间距离9.7.2 核心考点精准研析 考点一 求二面角 命考查直观想象与数学运算的核心素考查与二面角相关的问题.21.考什么1 题. 养 精. 以柱、锥、台等几何体为载体考查与二面角相关的证明、求值问题2.怎么考 解. 以求二面角或某一三角函数值为主要命题方向3.新趋读 1.利用空间向量求二面角的两种方法 学则分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,1 霸; 这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 好则二,n和n2通过平面的法向量来求设二面角的两个半平面的法向量分别为21 方. n-n,,n或π面角的大小等于n2112 法. 常常与证明线面的平行、垂直关系同时考查交汇问题 2. 求二面角或某一三角函数值. ⊥EC在棱AA上,BEABCDABCD-ABCD的底面是正方形,点E 2019【典例】全国卷Ⅱ如图,长方体111111 1证明BE⊥平面EBC. 112若AEAE,求二面角B-EC-C的正弦值. 11 【解析】1由已知得,BC⊥平面ABBA,BE平面ABBA,故BC⊥BE.又BE⊥EC,EC∩BCC, 1111111111111. ⊥平面所以BEEBC11为坐标原RtABERt.90BEB12由知∠由题设知△≌△故,AEB45E,B所以∠A以2AB.AEAB,AAD1111 D-xyz, ,点|,|轴正方向x的方向为为单位长建立如图所示的空间直角坐标系, - 1 - 1,0,0, 0,1,2,E1,0,1,则C0,1,0,B1,1,0,C1 x,y,z,则设平面EBC1,-1,1,的法向量为n0,0,2. 0,-1,-1. 所以可取n即x,y,z, 的法向量为m设平面ECC1 则即 . n,m-m所以可取1,1,0.于是cos . B-EC-C的正弦值为所以二面角1 与二面角有关的综合问题 ABCD,ADCDBCCF1. ⊥平面CF为矩形,且∥CD,∠BCD,四边形ACFE,AB,【典例】如图在梯形ABCD中 BCF. ⊥平面1求证EF并求此时,与平面FCB所成锐二面角最大MABM在线段EF含端点上运动,当点在什么位置时,平面M2点. 二面角的余弦值 , 又因为∠∥因为中在梯形【解析】1ABCD,ABCD,ADCDBC1,BCD - 2 - ACB,故ACACD,所以∠⊥所以∠ADCπ,∠BC. ABCD,AC平面⊥平面ABCD, 因为CFCF, AC⊥所以BCF. ⊥平面∥AC,所以EF因为CF∩BCC,所以AC⊥平面BCF,EF而, 轴的空间直角坐标系如图所示轴,y轴,z2由1可建立分别以直线CA,CB,CF为xADCDBCCF1, , ≤0≤λ令FMλ ,0,1, λC0,0,0,A,0,0,B0,1,0,M则 ,-1,1, λ,1,0,所以-, 的一个法向量为平面MAB设nx,y,z1 由得 , -1,λ,n取x1,则1, FCB的一个法向量n1,0,0是平面因为2 所以cos θ , 所成FCB与平面重合时F,平面MAB与点所以点θ时λ,≤因为0λ≤所以当0,cos 有最小值,M . 此时二面角的余弦值为,锐二面角最大 - 3 - 所成的锐二面角的余弦值为ABCDED与平面的中点,则平面A中在正方体ABCD-ABCD,点E为BB1.111111 D. B. C. A. 则设棱长为1,A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,【解析】选B.以 ,D0,1,0, 0,0,1,EA1,0,1 , 所以1,0,-0,1,-1,1,y,z, nED的一个法向量为设平面A11 则所以 . ,的一个法向量为ABCDn0,0,1,所以cosnn1,2,2.所以n因为平面2112 . 即所成的锐二面角的余弦值为当二面上一点AB,点⊥平面,PDABCD且PDAD2,E是射线是正方形底面中四棱锥如图2.,P ABCD,ABCD ,AE P-EC-D角为时 - 4 - D.22 A.1 C.2-B.【解析】选D.设AEaa≥0,以点D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则 0,2,-2,2,a,-2,设平面D0,0,0,C0,2,0,E2,a,0,P0,0,2,PEC则的法向量为 即故x∶y∶z2-amx,y,z,∶则2∶2, 故令m2-a,2,2, 设平面ECD的法向量为n0,0,1, θ, D的平面角二面角P EC , 所以cosθ a-22或舍去所以, a22 AE22. 故 1.在矩形ABCD中,AB4,BC3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B的平面角为60时,BD________________. 【解析】在矩形ABCD中,AB4,BC3, 过点D作DE⊥AC于点E, 过点B作BF⊥AC于点F, 则||, || . ||5-2沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B的平面角为60时, , 则 - 5 - 222 . cos1800022-60 . 所以,BD 答案AB1,BEBF2,,其中△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形2.2019全国卷Ⅲ图1是由矩形ADEB,Rt2. 如图,BF重合连接DG,∠FBC60,将其沿AB,BC折起使得BE与 BCGE. ⊥平面四点共面,且平面ABC1证明图2中的A,C,G,D. 的大小2中的二面角B-CG-A2求图. 从而A,C,G,D四点共面∥CG,故AD,CG确定一个平面,BE,CG【解析】1由已知得AD∥∥BE,所以ADBCB, BC,BE∩AB由已知得⊥BE,AB⊥BCGE. AB⊥平面故 BCGE. ⊥平面所以平面AB平面ABC,又因为ABC EHH.因为EHABC. 2作⊥BC,垂足为⊥平面⊥平面平面BCGE,平面BCGEABC,所以EH . EBC60,可求得BH1,EH的边长为由已知,菱形BCGE2,∠ H-xyz, ,建立如图所示的空间直角坐标