中考数学几何模型共顶点模型

中考数学几何模型中考数学几何模型 2 2共顶点模型共顶点模型 名师点睛名师点睛 拨开云雾拨开云雾开门见山开门见山 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合， 两个三角形的 两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下 （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形 * *常见结论常见结论 连接 BD、AE 交于点 F，连接 CF，则有以下结论 1△BCD △ACE2AE  BD 3AFB  DFE4FC平分BFE 典题探究典题探究 启迪思维启迪思维探究重点探究重点 例题例题 1 1. 以点 A 为顶点作等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90，如图 1 所示放置，使 得一直角边重合，连接BD、CE． （1）试判断 BD、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长 BD 交 CE 于点 F 试求∠BFC 的度数； （3）把两个等腰直角三角形按如图2 放置， （1） 、 （2）中的结论是否仍成立请说明理由． - 1 - 【解答】解 （1）CE＝BD，理由如下 ∵等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE， ∴AE＝AD，AC＝AB， 在△EAC 与△DAB 中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS） ， ∴CE＝BD； （2）∵△EAC≌△DAB， ∴∠ECA＝∠DBA， ∴∠ECA∠CBF＝∠DBA∠CBF＝45， ∴∠ECA∠CBF∠DCB＝4545＝90， ∴∠BFC＝180﹣90＝90； （3）成立， ∵等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE， ∴AE＝AD，AC＝AB， 在△EAC 与△DAB 中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS） ， ∴CE＝BD； ∵△EAC≌△DAB， ∴∠ECA＝∠DBA， ∴∠ECA∠CBF＝∠DBA∠CBF＝45， ∴∠ECA∠CBF∠DCB＝4545＝90， ∴∠BFC＝180﹣90＝90． 变式练习变式练习 1. 已知如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90． （1）求证BD＝AE． （2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形 ABED 的面积． 【解答】解 （1）∵△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90， ∴AC＝BC，CD＝CE． ∵∠ACB＝∠DCE＝90， - 2 - ∴∠ACB∠ACD＝∠DCE∠ACD，即∠BCD＝∠ACE． 在△BCD 和△ACE 中，， ∴△BCD≌△ACE（SAS） ， ∴BD＝AE； （2）由（1）得△BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAE， ∵∠CBP∠BPC＝90，∠BPC＝∠APD， ∴∠EAC∠APD＝90， ∴∠AHB＝90， ∴∠BAH∠ABD＝90， ∵∠DAE＝∠ABD， ∴∠BAH∠DAE＝90，即∠BAD＝90， ∵AB＝8，AD＝6， ∴BD＝AE＝10， ∴S 四边形ABED ＝10102＝50． 例题例题 2 2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF 分别有公共顶点 A，D，且△ADE，△DBF 都在 △ADB 内，求证CD 与 EF 互相平分. 变式练习变式练习 2. 已如图，已知等边三角形ABC，在 AB 上取点 D，在 AC 上取点 E，使得 AD＝AE，作等边三角形 PCD， QAE 和 RAB，求证P、Q、R 是等边三角形的三个顶点． 【解答】解连接 BP， ∵△ABC 和△PCD 都为等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP， ∴△ACD≌△BCP（SAS） ， - 3 - ∴AD＝BP， 又∠RAB∠BAC∠QAE＝180， ∴R，A，Q 三点共线， 又∠CBP＝∠CAD＝60，∠RBA∠ABC∠CBP＝180， ∴R，B，P 三点共线， 又 AQ＝AE＝AD＝BP， ∴RQ＝RAAQ＝RBBP＝RP， 又∠R＝60， ∴△PQR 是等边三角形， 则 P、Q、R 是等边三角形的三个顶点． 例题例题 3. 3. 在等边△ABC 与等边△DCE 中，B，C，E 三点共线，连接 BD，AE 交于点 F,连接 CF. 1如图 1，求证BFAFFC，EFDFFC； 2如图 2，若△ABC，△DCE 为等腰直角三角形，∠ACB∠DCE90，则1的结论是否成立若不成立， 写出正确结论并证明. 例题例题 4. 4. 【问题探究】 （1）如图①已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为腰，在△ABC 的外部作等腰 Rt△ABD 和 Rt△ACE，连接 CD、BE，试猜想 CD、BE 的大小关系CD＝BE； （不必证明） 【深入探究】 （2）如图②△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，点D 在边 BC 上（不与 B、C 重合） ，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为BC＝CECD； （不必证明） 线段 AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长． - 4 - 【解答】解 （1）∵△ABD 和△ACE 是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90， ∴∠DAB∠BAC＝∠EAC∠BAC，即∠BAE＝∠DAC， 在△DAC 和△BAE 中， ∵， ∴△DAC≌△BAE（SAS） ， ∴CD＝BE， 故答案为CD＝BE． （2）∵△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90， ∴∠BAD∠DAC＝∠CAE∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中， ∵， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ， ∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45， 又∵BC＝BDCD，∠ACE＝45， ∴BC＝CECD，∠DCE＝90， ∴CD2CE2＝DE2， ∵BD＝CE，DE＝AD， ∴CD2BD2＝2AD2． 故答案为BC＝CECD． 例题例题 5.5. 如图 1，在△ABC 中，BC＝4，以线段AB 为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC 为边作 △CDE，使得 DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α． （1）如图 2，当∠ABC＝45且 α＝90时，用等式表示线段 AD，DE 之间的数量关系； （2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段EF，连接 BF，AF． ①若 α＝90，依题意补全图 3，求线段 AF 的长； ②请直接写出线段 AF 的长（用含 α 的式子表 - 5 - 示） ． 【解答】解 （1）ADDE＝4，