中考数学几何模型共顶点模型

中考数学几何模型中考数学几何模型 2 2：：共顶点模型共顶点模型 名师点睛名师点睛 拨开云雾拨开云雾开门见山开门见山 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合， 两个三角形的 两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形 * *常见结论：常见结论： 连接 BD、AE 交于点 F，连接 CF，则有以下结论： (1)△BCD △ACE(2)AE  BD (3)AFB  DFE(4)FC平分BFE 典题探究典题探究 启迪思维启迪思维探究重点探究重点 例题例题 1 1. 以点 A 为顶点作等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图 1 所示放置，使 得一直角边重合，连接BD、CE． （1）试判断 BD、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长 BD 交 CE 于点 F 试求∠BFC 的度数； （3）把两个等腰直角三角形按如图2 放置， （1） 、 （2）中的结论是否仍成立？请说明理由． - 1 - 【解答】解： （1）CE＝BD，理由如下： ∵等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE， ∴AE＝AD，AC＝AB， 在△EAC 与△DAB 中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS） ， ∴CE＝BD； （2）∵△EAC≌△DAB， ∴∠ECA＝∠DBA， ∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°， ∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°， ∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°； （3）成立， ∵等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE， ∴AE＝AD，AC＝AB， 在△EAC 与△DAB 中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS） ， ∴CE＝BD； ∵△EAC≌△DAB， ∴∠ECA＝∠DBA， ∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°， ∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°， ∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°． 变式练习变式练习 1. 已知：如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）求证：BD＝AE． （2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形 ABED 的面积． 【解答】解： （1）∵△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CD＝CE． ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， - 2 - ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE． 在△BCD 和△ACE 中，， ∴△BCD≌△ACE（SAS） ， ∴BD＝AE； （2）由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAE， ∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD， ∴∠EAC+∠APD＝90°， ∴∠AHB＝90°， ∴∠BAH+∠ABD＝90°， ∵∠DAE＝∠ABD， ∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°， ∵AB＝8，AD＝6， ∴BD＝AE＝10， ∴S 四边形ABED ＝10×10÷2＝50． 例题例题 2 2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF 分别有公共顶点 A，D，且△ADE，△DBF 都在 △ADB 内，求证：CD 与 EF 互相平分. 变式练习变式练习 2. 已如图，已知等边三角形ABC，在 AB 上取点 D，在 AC 上取点 E，使得 AD＝AE，作等边三角形 PCD， QAE 和 RAB，求证：P、Q、R 是等边三角形的三个顶点． 【解答】解：连接 BP， ∵△ABC 和△PCD 都为等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP， ∴△ACD≌△BCP（SAS） ， - 3 - ∴AD＝BP， 又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°， ∴R，A，Q 三点共线， 又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°， ∴R，B，P 三点共线， 又 AQ＝AE＝AD＝BP， ∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP， 又∠R＝60°， ∴△PQR 是等边三角形， 则 P、Q、R 是等边三角形的三个顶点． 例题例题 3. 3. 在等边△ABC 与等边△DCE 中，B，C，E 三点共线，连接 BD，AE 交于点 F,连接 CF. (1)如图 1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC； (2)如图 2，若△ABC，△DCE 为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立， 写出正确结论并证明. 例题例题 4. 4. 【问题探究】 （1）如图①已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为腰，在△ABC 的外部作等腰 Rt△ABD 和 Rt△ACE，连接 CD、BE，试猜想 CD、BE 的大小关系CD＝BE； （不必证明） 【深入探究】 （2）如图②△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，点D 在边 BC 上（不与 B、C 重合） ，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为BC＝CE+CD； （不必证明） 线段 AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长． - 4 - 【解答】解： （1）∵△ABD 和△ACE 是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC， 在△DAC 和△BAE 中， ∵， ∴△DAC≌△BAE（SAS） ， ∴CD＝BE， 故答案为：CD＝BE． （2）∵△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中， ∵， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ， ∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°， 又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°， ∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°， ∴CD2+CE2＝DE2， ∵BD＝CE，DE＝AD， ∴CD2+BD2＝2AD2． 故答案为：BC＝CE+CD． 例题例题 5.5. 如图 1，在△ABC 中，BC＝4，以线段AB 为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC 为边作 △CDE，使得 DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α． （1）如图 2，当∠ABC＝45°且 α＝90°时，用等式表示线段 AD，DE 之间的数量关系； （2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段EF，连接 BF，AF． ①若 α＝90°，依题意补全图 3，求线段 AF 的长； ②请直接写出线段 AF 的长（用含 α 的式子表 - 5 - 示） ． 【解答】解： （1）AD+DE＝4，