中考九年级证明圆的切线例题方法

本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持 切线证明法 一、若直线 l 过⊙O 上某一点 A，证明 l 是⊙O 的切线，只需连 OA，证明 OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 . 例 1 如图，在△ ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D，交 AC 于 E， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求EF 与⊙O 相切. 证 连结 OE， AD. 证 明 ∵AB 是⊙ O 的直径， ∴AD ⊥ BC. 又∵ ABBC ， ∴∠ 3∠ 4. ∴B DD E ，∠ 1∠ 2. 又∵ OBOE ， OFOF ， ∴△ BOF ≌△ EOF （SAS）. ∴∠ OBF ∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥ BF. ⌒⌒ 说 明 ∴EF 与⊙O 相切. 此题是通过证明三角形全等证明 P 为 BC 延长线上一点，且 PAPD. 例 2 如图， AD 是∠ BAC 的平分 线， 求证 PA 与⊙ O 相切 . 证明一 作直径 AE ，连结 EC. ∵AD 是∠ BAC 的平分 线， ∴∠ DAB ∠ DAC. ∵PAPD， 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持 ∴∠ 2∠1∠ DAC. ∵∠ 2∠B ∠ DAB ， ∴∠ 1∠ B. 又∵∠ B ∠E， ∴∠ 1∠ E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴ AC ⊥ EC，∠ E ∠ EAC90 . ∴∠ 1∠ EAC90 0. 即 OA ⊥ PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二 延长 AD 交⊙O 于 E，连结 ∵A ⌒D 是⌒∠ BAC 的平分线， ∴ BECE ， ∴ OE ⊥BC. ∴∠ E∠ BDE90 0. ∵ OAOE ， ∴∠ E∠ 1. ∵PAPD， ∴∠ PAD ∠PDA. 又∵∠ PDA ∠BDE, ∴∠ 1∠PAD90 0 即 OA ⊥ PA. ∴PA 与⊙O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综说明 合运用 例 3 如图， ABAC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交 BC 于 D，DM⊥AC 于 M 求证 DM 与⊙ O 相切. 0 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持 证明一 连结 OD. ∵ ABAC ， ∴∠ B∠C. ∵ OBOD ， ∴∠ 1∠ B. ∴∠ 1∠C. ∴OD ∥ AC. ∵DM ⊥AC ， ∴ DM ⊥ OD. ∴ DM 与⊙ O 相切 证明二 连结 OD， AD. ∵ AB 是⊙ O 的直 径， ∴ AD ⊥BC. 又∵ ABAC, ∴∠ 1∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠ 2∠ 4900∵OAOD， ∴∠ 1∠ 3. ∴∠ 3∠ 4900. 即 OD ⊥ DM. ∴ DM 是⊙ O 的切线 说明 证明一是通过证平行来证明垂直的 解题中注意 充分利用已知及图上已知 证明二是通过证两角互余证明垂直的， 例 4 如图，已知 AB 是⊙ O 的直 径，点 C 在⊙ O 上，且∠ CAB30 0， BDOB ， 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持 D 在 AB 的延长线上 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持 求证 DC 是⊙O 的切线 证明 连结 OC、 BC. ∵OAOC ， ∴∠ A∠1∠300. ∴∠ BOC ∠ A ∠160 . 又∵ OCOB ， ∴△ OBC 是等边三角形 . ∴OBBC. ∵ OBBD ， ∴OBBCBD. ∴OC⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线 . 说明此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的， 此题解法颇多， 但这种方法较 0 D 好. 2例 5 如图， AB 是⊙O 的直径， CD ⊥ AB ，且 OA OD OP. 求证 PC 是⊙O 的切线 . 证明 连结 OC ∵OA 2OD OP，OAOC ， ∴ OC OD OP， 2 OC OP . OD OC . 又∵∠ 1 ∠1， ∴△ OCP∽△ ODC. ∴∠ OCP ∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠ OCP900. 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持 ∴PC 是⊙O 的切线 . 说明 此题是通过证三角形相似证明垂直的 例 6 如图， ABCD 是正方形， G 是 BC 延长线上一点， AG 交 BD 于 E ， 交 CD 于 F. 求证 CE 与△ CFG 的外接圆相切 分析 此题图上没有画出△ CFG 的外接圆，但△ CFG 是直角三角形，圆心 FG的 中为此我们取 FG 的中点 O，连 点， 取 FG 中点 O ，连结 OC. 在斜边 ，证明 CE⊥OC 即可得解 . ∵ ABCD 是正方形， ∴BC ⊥ CD，△ CFG 是 Rt△ ∵O 是 FG 的中点， ∴O 是 Rt△ CFG 的外心 . ∵OCOG ， ∴∠ 3∠ G， ∵AD ∥ BC， ∴∠ G ∠4. ∵ ADCD ，DEDE ， ∠ADE ∠CDE45 ， ∴△ADE ≌△ CDE （SAS） ∴∠ 4∠1，∠ 1∠3. ∵∠ 2∠3900, ∴∠ 1∠2900. 即 CE⊥ OC. ∴CE 与△ CFG 的外接圆相切 0 、若直线 l 与⊙O 没有已知的公共点， l 是⊙O 的切线，只需作 OA⊥l，又要证明 作垂直；证半径”A 为垂足，证明 OA 是⊙ O 的半径就行了，简称 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持 例 7 如图， ABAC ，D 为 BC 中点，⊙ D 与 AB 切于 E 点. 求证 AC 与⊙ D 相切 . 证明一 连结 DE，作 DF⊥AC，F 是垂 足 . ∵ AB 是⊙ D 的切线， ∴ DE⊥ AB. ∵DF⊥AC ， ∴∠ DEB ∠DFC90 0. ∵ ABAC ， 又∵ BDCD ， ∴△ BDE ≌△ CDF （AAS ） ∴F 在⊙ D 上. ∴ AC 是⊙ D 的切线 证明二连结 DE，AD ，作 DF⊥ AC ，F 是垂 足 . ∵ AB 与⊙ D 相切， ∵ ABAC ， BDCD ， ∴∠ 1∠ 2. ∴ DEDF. ∴ F 在⊙ D 上 . 说明 证明一是通过证明三角形全等证明的，证明二是利用角平分线的性DFDE 质证明 DFDE 的，这类习题多数与角平分线有关 例 8 已知如图， AC，BD 与⊙ O 切于 A、B，且 AC∥BD，若∠ COD90 0. 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持 求证 CD 是⊙ O 的切线 . 证明一 连结 OA ， OB，作 OE⊥CD，E 为垂足. ∵∠ 4∠590 . ∴∠ 1∠5. ∴Rt△ ∴ 0 AC OC . ∴ OB OD . ∵ OAOB ， ∴ AC OC . ∴ OA OD又∵∠ CAO ∠ COD900， . ∴△AOC ∽△ ODC ， ∴∠ 1∠2. 又∵ OA⊥AC ，OE⊥CD, ∴OEOA. ∴E 点在⊙ O 上. ∴CD 是⊙O 的切线. 证明二 连结 OA ， OB