中考九年级证明圆的切线例题方法

本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 切线证明法 一、若直线 l 过⊙O 上某一点 A，证明 l 是⊙O 的切线，只需连 OA，证明 OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 . 例 1 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于 D，交 AC 于 E， B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求EF 与⊙O 相切. 证： 连结 OE， AD. 证 明： ∵AB 是⊙ O 的直径， ∴AD ⊥ BC. 又∵ AB=BC ， ∴∠ 3=∠ 4. ∴B D=D E ，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE ， OF=OF ， ∴△ BOF ≌△ EOF （SAS）. ∴∠ OBF= ∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥ BF. ⌒⌒ 说 明： ∴EF 与⊙O 相切. 此题是通过证明三角形全等证明 P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD. 例 2 如图， AD 是∠ BAC 的平分 线， 求证： PA 与⊙ O 相切 . 证明一： 作直径 AE ，连结 EC. ∵AD 是∠ BAC 的平分 线， ∴∠ DAB= ∠ DAC. ∵PA=PD， 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ ∴∠ 2=∠1+∠ DAC. ∵∠ 2=∠B+ ∠ DAB ， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B= ∠E， ∴∠ 1=∠ E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴ AC ⊥ EC，∠ E+ ∠ EAC=90 . ∴∠ 1+∠ EAC=90 0. 即 OA ⊥ PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二： 延长 AD 交⊙O 于 E，连结 ∵A ⌒D 是⌒∠ BAC 的平分线， ∴ BE=CE ， ∴ OE ⊥BC. ∴∠ E+∠ BDE=90 0. ∵ OA=OE ， ∴∠ E=∠ 1. ∵PA=PD， ∴∠ PAD= ∠PDA. 又∵∠ PDA= ∠BDE, ∴∠ 1+∠PAD=90 0 即 OA ⊥ PA. ∴PA 与⊙O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综说明： 合运用 例 3 如图， AB=AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交 BC 于 D，DM⊥AC 于 M 求证： DM 与⊙ O 相切. 0 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 证明一： 连结 OD. ∵ AB=AC ， ∴∠ B=∠C. ∵ OB=OD ， ∴∠ 1=∠ B. ∴∠ 1=∠C. ∴OD ∥ AC. ∵DM ⊥AC ， ∴ DM ⊥ OD. ∴ DM 与⊙ O 相切 证明二： 连结 OD， AD. ∵ AB 是⊙ O 的直 径， ∴ AD ⊥BC. 又∵ AB=AC, ∴∠ 1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠ 2+∠ 4=900∵OA=OD， ∴∠ 1=∠ 3. ∴∠ 3+∠ 4=900. 即 OD ⊥ DM. ∴ DM 是⊙ O 的切线 说明： 证明一是通过证平行来证明垂直的 解题中注意 充分利用已知及图上已知 证明二是通过证两角互余证明垂直的， 例 4 如图，已知： AB 是⊙ O 的直 径，点 C 在⊙ O 上，且∠ CAB=30 0， BD=OB ， 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ D 在 AB 的延长线上 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 求证： DC 是⊙O 的切线 证明： 连结 OC、 BC. ∵OA=OC ， ∴∠ A=∠1=∠300. ∴∠ BOC= ∠ A+ ∠1=60 . 又∵ OC=OB ， ∴△ OBC 是等边三角形 . ∴OB=BC. ∵ OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线 . 说明：此题是根据圆周角定理的推论 3 证明垂直的， 此题解法颇多， 但这种方法较 0 D 好. 2例 5 如图， AB 是⊙O 的直径， CD ⊥ AB ，且 OA =OD ·OP. 求证： PC 是⊙O 的切线 . 证明： 连结 OC ∵OA 2=OD · OP，OA=OC ， ∴ OC =OD · OP， 2 OC OP . OD OC . 又∵∠ 1= ∠1， ∴△ OCP∽△ ODC. ∴∠ OCP= ∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠ OCP=900. 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ ∴PC 是⊙O 的切线 . 说明： 此题是通过证三角形相似证明垂直的 例 6 如图， ABCD 是正方形， G 是 BC 延长线上一点， AG 交 BD 于 E ， 交 CD 于 F. 求证： CE 与△ CFG 的外接圆相切 分析： 此题图上没有画出△ CFG 的外接圆，但△ CFG 是直角三角形，圆心 FG的 中为此我们取 FG 的中点 O，连 点， 取 FG 中点 O ，连结 OC. 在斜边 ，证明 CE⊥OC 即可得解 . ∵ ABCD 是正方形， ∴BC ⊥ CD，△ CFG 是 Rt△ ∵O 是 FG 的中点， ∴O 是 Rt△ CFG 的外心 . ∵OC=OG ， ∴∠ 3=∠ G， ∵AD ∥ BC， ∴∠ G= ∠4. ∵ AD=CD ，DE=DE ， ∠ADE= ∠CDE=45 ， ∴△ADE ≌△ CDE （SAS） ∴∠ 4=∠1，∠ 1=∠3. ∵∠ 2+∠3=900, ∴∠ 1+∠2=900. 即 CE⊥ OC. ∴CE 与△ CFG 的外接圆相切 0 、若直线 l 与⊙O 没有已知的公共点， l 是⊙O 的切线，只需作 OA⊥l，又要证明 作垂直；证半径”A 为垂足，证明 OA 是⊙ O 的半径就行了，简称： 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 例 7 如图， AB=AC ，D 为 BC 中点，⊙ D 与 AB 切于 E 点. 求证： AC 与⊙ D 相切 . 证明一： 连结 DE，作 DF⊥AC，F 是垂 足 . ∵ AB 是⊙ D 的切线， ∴ DE⊥ AB. ∵DF⊥AC ， ∴∠ DEB= ∠DFC=90 0. ∵ AB=AC ， 又∵ BD=CD ， ∴△ BDE ≌△ CDF （AAS ） ∴F 在⊙ D 上. ∴ AC 是⊙ D 的切线 证明二：连结 DE，AD ，作 DF⊥ AC ，F 是垂 足 . ∵ AB 与⊙ D 相切， ∵ AB=AC ， BD=CD ， ∴∠ 1=∠ 2. ∴ DE=DF. ∴ F 在⊙ D 上 . 说明： 证明一是通过证明三角形全等证明的，证明二是利用角平分线的性DF=DE 质证明 DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关 例 8 已知：如图， AC，BD 与⊙ O 切于 A、B，且 AC∥BD，若∠ COD=90 0. 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 求证： CD 是⊙ O 的切线 . 证明一： 连结 OA ， OB，作 OE⊥CD，E 为垂足. ∵∠ 4+∠5=90 . ∴∠ 1=∠5. ∴Rt△ ∴ 0 AC OC . ∴ OB OD . ∵ OA=OB ， ∴ AC OC . ∴ OA OD又∵∠ CAO= ∠ COD=900， . ∴△AOC ∽△ ODC ， ∴∠ 1=∠2. 又∵ OA⊥AC ，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙ O 上. ∴CD 是⊙O 的切线. 证明二： 连结 OA ， OB