中国科学大学随机过程孙应飞复习题及答案

（（1 1））设设{Xt, t  0}是是 一一 个个 实实 的的 零零 均均 值值 二二 阶阶 矩矩 过过 程程 ，， 其其 相相 关关 函函 数数 为为 E{XsXt} Bt  s, s  t ，， 且且 是是 一一 个个 周周 期期 为为 T 的的 函函 数数 ，， 即即 BT  B, 0，求方差函数 ，求方差函数D[Xt Xt T]。。 解由定义，有解由定义，有 D[Xt Xt T]  D[Xt] D[Xt T]  2E{[Xt EXt][Xt T EXt T]}  B0 B0 2E{XtXt T}  B0 B0 2BT  0 （（2 2））试证明如果试证明如果{Xt, t  0}是一独立增量过程，且是一独立增量过程，且X0  0，那么它必是一个马，那么它必是一个马 尔可夫过程。尔可夫过程。 证明我们要证明证明我们要证明  0  t 1  t 2   t n ，有，有 P{Xt n  x n Xt 1  x 1 , Xt 2  x 2 , , Xt n1  x n1}  P{Xt n  x Xt n1  x n1} 形式上我们有形式上我们有 P{Xt n  x n Xt 1  x 1 , Xt 2  x 2 , , Xt n1  x n1}   P{Xt n  x n , Xt 1  x 1 , Xt 2  x 2 , , Xt n1  x n1} P{Xt 1  x 1 , Xt 2  x 2 , , Xt n1  x n1} P{Xt n  x n , Xt 1  x 1 , Xt 2  x 2 , , Xt n2  x n2 Xt n1  x n1} P{Xt 1  x 1, Xt2  x 2 , , Xt n2  x n2 Xt n1  x n1} 因此，因此，我们只要能证明在已知我们只要能证明在已知Xt n1  x n1 条件下，条件下，Xtn与与Xt j , j 1,2, ,n2 相互独立即可。相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，由独立增量过程的定义可知， 当当a  t j  t n1  t n , j 1,2, ,n2时， 时， 增量增量Xt j  X0与 与 Xt n  Xt n1 相 相互互独独立，立， 由由于在于在 条条件件Xt n1  x n1 和和X0  0下下，，即有即有Xt j 与 与 Xt n  x n1 相相 互互 独独 立立 。。 由由 此此 可可 知知 ，， 在在 Xt n1  x n1 条条 件件 下下 ，， Xt n 与与 Xt j , j 1,2, ,n2相互独立，结果成立。 相互独立，结果成立。 （（3 3））设随机过程设随机过程{Wt,t  0}为零初值（为零初值（W0 0）的、有平稳增量和独立增量的过程，）的、有平稳增量和独立增量的过程， 2 且对每个且对每个t  0，，Wt N, t，问过程 ，问过程{Wt,t  0}是否为正态过程，为什么是否为正态过程，为什么 解任取解任取 0  t1 t 2   t n ，则有，则有 W tk   [W ti W ti1 ]k 1,2, ,n i1 k 由平稳增量和独立增量性，可知由平稳增量和独立增量性，可知Wt i W ti1 N0, 2t i t i1 并且独立 并且独立 因此因此Wt 1 ,W t2 W t1 , ,W tn W tn1 是联合正态分布的，由 是联合正态分布的，由 W t1  1 0  Wt 2 11       W t 1 1  n  可知是正态过程。可知是正态过程。 0W t1   0  W t2 W t1   0    1  W tn W tn1   （（4 4））设设{Bt}为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在并为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在并 说明理由。说明理由。 解标准布朗运动的相关函数为解标准布朗运动的相关函数为 R B s,t  2min{s,t} 如果标准布朗运动是均方可微的，则如果标准布朗运动是均方可微的，则RBt,t存在，但是存在，但是 / R B t  t,t R B t,t  0 t0 t R t  t,t  R t,t /BBR B  2  t,t  lim t0 t /R B t,t  lim 故故RBt,t不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。 （（5 5））设设N t ，，t  0是零初值、强度是零初值、强度 0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均 方意义下，方意义下，Yt / N ds, t  0是否存在，为什么 是否存在，为什么 0 s t 解泊松过程的转移率矩阵为解泊松过程的转移率矩阵为     0  0 Q         0 00 0                       2 其相关函数为其相关函数为RNs,t min{s,t}st，由于在，由于在t，，RNt,t连续，故均连续，故均 方积分存在。方积分存在。 （（6 6））在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0 0 表示误差状态，表示误差状态，1 1 表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为 p P   00 p10 p 01  0.75 0.25   p 11   0.50.5  试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。 解由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为解由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为2/3,1/3。。 1,2,3,4, 一步转移概率矩阵如下一步转移概率矩阵如下（（7 7））设齐次马氏链设齐次马氏链X n ,n  0, S  01/2 1/2