中国科学大学随机过程孙应飞复习题及答案

（（1 1））设设{X(t), t  0}是是 一一 个个 实实 的的 零零 均均 值值 二二 阶阶 矩矩 过过 程程 ，， 其其 相相 关关 函函 数数 为为 E{X(s)X(t)} B(t  s), s  t ，， 且且 是是 一一 个个 周周 期期 为为 T 的的 函函 数数 ，， 即即 B(T)  B(), 0，求方差函数 ，求方差函数D[X(t) X(t T)]。。 解：由定义，有：解：由定义，有： D[X(t) X(t T)]  D[X(t)] D[X(t T)]  2E{[X(t) EX(t)][X(t T) EX(t T)]}  B(0) B(0) 2E{X(t)X(t T)}  B(0) B(0) 2B(T)  0 （（2 2））试证明：如果试证明：如果{X(t), t  0}是一独立增量过程，且是一独立增量过程，且X(0)  0，那么它必是一个马，那么它必是一个马 尔可夫过程。尔可夫过程。 证明：我们要证明：证明：我们要证明：  0  t 1  t 2   t n ，有，有 P{X(t n )  x n X(t 1 )  x 1 , X(t 2 )  x 2 , , X(t n1 )  x n1}  P{X(t n )  x X(t n1 )  x n1} 形式上我们有：形式上我们有： P{X(t n )  x n X(t 1 )  x 1 , X(t 2 )  x 2 , , X(t n1 )  x n1}   P{X(t n )  x n , X(t 1 )  x 1 , X(t 2 )  x 2 , , X(t n1 )  x n1} P{X(t 1 )  x 1 , X(t 2 )  x 2 , , X(t n1 )  x n1} P{X(t n )  x n , X(t 1 )  x 1 , X(t 2 )  x 2 , , X(t n2 )  x n2 X(t n1 )  x n1} P{X(t 1 )  x 1, X(t2 )  x 2 , , X(t n2 )  x n2 X(t n1 )  x n1} 因此，因此，我们只要能证明在已知我们只要能证明在已知X(t n1 )  x n1 条件下，条件下，X(tn)与与X(t j ) , j 1,2, ,n2 相互独立即可。相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，由独立增量过程的定义可知， 当当a  t j  t n1  t n , j 1,2, ,n2时， 时， 增量增量X(t j )  X(0)与 与 X(t n )  X(t n1 )相 相互互独独立，立， 由由于在于在 条条件件X(t n1 )  x n1 和和X(0)  0下下，，即有即有X(t j )与 与 X(t n ) x n1 相相 互互 独独 立立 。。 由由 此此 可可 知知 ，， 在在 X(t n1 )  x n1 条条 件件 下下 ，， X(t n ) 与与 X(t j ) , j 1,2, ,n2相互独立，结果成立。 相互独立，结果成立。 （（3 3））设随机过程设随机过程{Wt,t  0}为零初值（为零初值（W0 0）的、有平稳增量和独立增量的过程，）的、有平稳增量和独立增量的过程， 2 且对每个且对每个t  0，，Wt~ N(, t)，问过程 ，问过程{Wt,t  0}是否为正态过程，为什么？是否为正态过程，为什么？ 解：任取解：任取 0  t1 t 2   t n ，则有：，则有： W tk   [W ti W ti1 ]k 1,2, ,n i1 k 由平稳增量和独立增量性，可知由平稳增量和独立增量性，可知Wt i W ti1 ~ N(0, 2(t i t i1 ))并且独立 并且独立 因此因此(Wt 1 ,W t2 W t1 , ,W tn W tn1 )是联合正态分布的，由 是联合正态分布的，由 W t1  1 0  Wt 2 11       W t 1 1  n  可知是正态过程。可知是正态过程。 0W t1   0  W t2 W t1   0    1  W tn W tn1   （（4 4））设设{Bt}为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并 说明理由。说明理由。 解：标准布朗运动的相关函数为：解：标准布朗运动的相关函数为： R B (s,t)  2min{s,t} 如果标准布朗运动是均方可微的，则如果标准布朗运动是均方可微的，则RB(t,t)存在，但是：存在，但是： / R B (t  t,t) R B (t,t)  0 t0 t R (t  t,t)  R (t,t) /BBR B  2  (t,t)  lim t0 t /R B (t,t)  lim 故故RB(t,t)不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。 （（5 5））设设N t ，，t  0是零初值、强度是零初值、强度 0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均 方意义下，方意义下，Yt / N ds, t  0是否存在，为什么？ 是否存在，为什么？ 0 s t 解：泊松过程的转移率矩阵为：解：泊松过程的转移率矩阵为：     0  0 Q         0 00 0                       2 其相关函数为：其相关函数为：RN(s,t) min{s,t}st，由于在，由于在t，，RN(t,t)连续，故均连续，故均 方积分存在。方积分存在。 （（6 6））在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0 0 表示误差状态，表示误差状态，1 1 表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为： p P   00 p10 p 01  0.75 0.25   p 11   0.50.5  试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。 解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为(2/3,1/3)。。 1,2,3,4, 一步转移概率矩阵如下：一步转移概率矩阵如下：（（7 7））设齐次马氏链设齐次马氏链X n ,n  0, S  01/2 1/2