对数函数知识点总结

对数函数 （一）对数 1．对数的概念一般地，假如，那么数叫做以为底的对数，记作（ 底数， 真数， 对数式） 说明 留意底数的限制，且； ； 留意对数的书写格式． 两个重要对数 常用对数以10为底的对数； 自然对数以无理数为底的对数的对数． （二）对数的运算性质 假如，且，，，那么 ＋； －； ． 留意换底公式 （，且；，且；）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）；（2）． （二）对数函数 1、对数函数的概念函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，∞）． 留意 对数函数的定义及指数函数类似，都是形式定义，留意辨别。如， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制，且． 2、对数函数的性质 a1 0a1 定义域x＞0 定义域x＞0 值域为R 值域为R 在R上递增 在R上递减 函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0） 对数函数例题解析 例1．求下列函数的定义域 （1） ； （2）； （3）． 解（1）由0得，∴函数的定义域是； （2）由得，∴函数的定义域是； （3）由9-得-3，∴函数的定义域是．例2．求函数和函数的反函数。 解（1） ∴； （2） ∴． 例4．比较下列各组数中两个值的大小 （1），； （2），； （3），. 解（1）对数函数在上是增函数，于是； （2）对数函数在上是减函数，于是； （3）当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是． 例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小 （1），； （2），； （3），，； （4），，． 解（1）∵， ，∴； （2）∵， ，∴． 3）∵， ， ， ∴． （4）∵， ∴． 例7．求下列函数的值域 （1） ； （2）； （3）（且）． 解（1）令，则， ∵， ∴，即函数值域为． （2）令，则， ∴， 即函数值域为． （3）令， 当时，， 即值域为， 当时，， 即值域为． 例8．推断函数的奇偶性。 解∵恒成立，故的定义域为， ，所以，为奇函数。 例9．求函数的单调区间。 解令在上递增，在上递减， 又∵， ∴或， 故在上递增，在上递减， 又∵为减函数， 所以，函数在上递增，在上递减。 例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围。 解令， ∵函数为减函数， ∴在区间上递减，且满意，∴，解得， 所以，的取值范围为． 解 2∵1－logax＋a＞0，∴logax＋a＜1． 当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为－a，0． 当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为0，＋∞． 域和值域． 反函数的定义域为0，1，值域为y∈R． 【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间． 1ylg－x 2ylog2|x＋1| 解 1ylg－x的图像及ylgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是－∞，0． 解 2先作出函数ylog2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示． 单调递减区间是－∞，－1． 单调递增区间是－1，＋∞． 的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为 所示 单调减区间是－1，2]． 单调增区间是[2，＋∞． 解 4∵函数ylog2－x的图像及函数ylog2x的图像关于y轴对称，故可先作ylog2－x的图像，再把y＝log2－x的图像向右平移1个单位得到ylog21－x的图像．如图2．8－6所示． 单调递减区间是－∞，1． 【例4】 图2．8－7分别是四个对数函数，①ylogax②ylogbx③ylogcx④ylogdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是 [ ] A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞d C．b＞a＞d＞cD．b＞c＞a＞d 解 选C，依据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c． 【例5】 已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系． 解法一 令y1logax，y2logbx，∵logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种状况 1当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x3，可得b＞a＞1． 2当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1． 3当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0． 依次是_____． 奇偶性． 解法一 已知函数的定义域为R，则－x∈R ∴fx是奇函数． 解法二 已知函数的定义域为R loga10 ∴fx－fx，即fx为奇函数． 单元测试 一、选择题（每小题5分，共50分）. 1．对数式中，实数a的取值范围是（ ） A．B．2,5C．D． 2．假如lgxlga3lgb－5lgc，那么（ ） A．xa3b－cB． C． D．xab3－c3 3．设函数ylgx2－5x的定义域为M，函数ylgx－5lgx的定义域为N，则（ ） A．M∪NRB．MN C．MN D．MN 4．若a＞0，b＞0，ab＞1，ln2，则logab及的关系是（ ） A．logab＜ B．logab C． logab＞D．logab≤ 5．若函数log2kx24kx3的定义域为R，则k的取值范围是（ ） A． B．C． D． 6．下列函数图象正确的是（ ） A B C D 7．已知函数，其中log2fx2x，xR，则gx （ ） A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数 9．假如ylog2a－1x在0，∞内是减函数，则a的取值范围是（ ） A．｜a｜＞1B．｜a｜＜2C．a D． 10．下列关系式中，成立的是（