高考数学讲义推理与证明

版块一合情推理与演绎推理 题型一合情推理 【题1】迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了 630万位的最大质数。小王发现 由8个质数组成的数列41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97的一个通项公式， 并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小 王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的 一个数是（） A. 1643 B. 1679 C. 1681 D. 1697 【答案】C。 【题2】观察下列数的特点 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,...中，第 100 项是（） 【答案】（C） 【题3】公比为4的等比数列极,｝中，若/是数列低｝的前项积，则有包，冬，乌 0 20 30 成等比数列，且公比为410 ；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列｛｝ 中，若是｛｝的前项和，则数列. 也成等差数列，且公 差为 【答案】S。Si。，530 S2（i,、加 一 S30； 300 o 【题4】在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件 首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成 如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在 前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边 形，依此推断第6件首饰上应有 颗珠宝;则前“件首饰所用 珠宝总数为 颗.（结果用n表小） 【答案】66, 〃〃 1伽一1。 6 【题5】在等差数列｛｝中，若％00,则有等式 。19_”19,十、成立,类比上述性质， 相应地在等比数列｛用｝中，若％ 1 ,则有等式 成立. 【答案】猜测本题的答案为姑2如姑217,6 N*. 【题6】观察以下各等式 3 sin2 30 cos2 60 sin 30 cos 60 - 4 3 sin2 20 cos2 50 sin 20 cos 50 - 4 a sin215 cos2 45 sin 15 cos45 --,分析上述各式的共同特点，猜想出反 4 映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。 3 【答案】sin2 tz cos2tz 30 sintzcostz 30 □ 4 【题7】二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象一个自然数，如果 它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1,反复进行这样两 种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。 【答案】取自然数6,按角谷的作法有623, 3x3110, 3x5116, 1628, 824, 422, 221,其过程简记为 63一 105一 168一42一 1。 取自然数 7,则有 7一221134175226一 13402010一 1。 取自然数 100,则 1005025763819582988一4422一 一1。 归纳猜想这样反复运算，必然会得到1。 题型二演绎推理 【题8】由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边 形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 A 正方形的对角线相等B平行四边形的对角线相等 C正方形是平行四边形D其它 【答案】A 【题9】4有一段演绎推理是这样的“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线； 已知直线人主平面a,直线au平面a,直线人〃平面a,则直线b 〃直线a” A 的结论显然是错误的，这是因为。 A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 【答案】A 【题10】小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。 小王说“我肯定考上重点大学。” 小刘说“重点大学我是考不上了。” 小张说“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。” 发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并 且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相 反。可见 A 小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学 B 小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学 C 小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学 D 小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上 【答案】C 【题11】设函数/，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求 2 V2 得 f 5 H /XO /5 /6的值为. 【答案】3也 【题12】AC,BD是菱形ABCD的对角线，.I AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推 理的大前提是 o 【答案】菱形对角线互相垂直且平分。 【题13】1在演绎推理中，只要 是正确的，结论必定是正确的。 2用演绎法证明yr2是增函数时的大前提是。 【答案】1大前提和推理过程 2增函数的定义 【题14】设二次函数fxAjrbxc A,Rc6R,A0满足条件 V 1 ①当 xER 时，fix-4f2-x,且7U2x；②当 x6 0,2时，人*C2 2 ③/x在R上的最小值为0o 求最大值m〃zl,使得存在作R,只要就有必g 【答案】9 版块二直接证明与间接证明 题型一综合法 【题15】若--0,则下列结论不正确的是 a b h Z7 A . a2 b1 B . abb2 C . 2 D . |a||Z|Z| 【答案】D。 【题16】已知且则在①b ab ■, - -2； 2a b ③沥〈竺2；④g22U。这四个式子中，恒成立的个数是 222 A1个 B2个 C3个 D4个 【答案】C。 3 【题 17】若函数 y mlx22mx3是偶函数，则 /-, fa2 -a 1 aR 3 的大小关系是/-*f2 1 . 【答案】O 【题18】已知同2,时5,向量Z与片的夹角为12QP,贝ij2a-. a 【答案】13 【题19】定义运算，例如，1*2 1,贝I函数/x x2*l-|x|的最大 值为 【答案】孕。 【题20】如图，在直四棱柱ArBiCiDABCD中，当底面四边形ABC。满足条件 或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是正方形、菱形等时， 有A1CB1D1 注