高考中如何解答好离散型随机变量分布列问题

中只有两个结果的无限次试验，因而在二项分布中变量的取值是从0到n,而在几何分布中变 量取值是从1开始的非零自然数，当然我们还可以通过“恰好”、“第一次”、“首次”这些字 眼上加以区分二项分布和几何分布。 三、求解相应的概率不容忽略细节 分布列的求解，其关键在于对响应取值时概率的计算，而往往可能因为忽略其细节，致 使概率求解出错。如（05全国）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲 队胜乙队的概率0.6。本场比采取五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛 相互之间没有影响，今令为本场比赛的局数，求的分布列和数学期望（精确到0.0001） 显然对于的取值应为3、4、5三个，而在当取4时相应概率计算可能会忽略甲取胜或乙 取胜 无论甲胜还是乙胜、4场比赛中第4场一定要胜，可能甲，也可能乙胜因而概率的计算 过程中前三场中甲恰好胜两场或乙恰好胜两场0 总之对离散型随机变量分布列问题的求解，方法可能多种多样，但我们必须认真阅读，抓 住要害，准确把握随机变量的含义，分清所属类型、解答中不忽略细节，才可能在分布列求 解问题中获胜，为高考取胜增加比重。 例题精选 1. 一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球， 摸出的球不再放回.（I ）连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；（II） 如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率. 【解析】（I）从袋中依次摸出2个球共有用种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有/A 种结果，则所求概率4鸟上（或片}［）. 16986 （II）第一次摸出红球的概率为马，第二次摸出红球的概率为卒，第三次摸出红球的概率 AA； 为卒，则摸球次数不超过3次的概率为 n A AX A；a 72 7 2 7 6 2 7 P, - L- .或 P X X X . -出 A； A； 129 9 8 9 8 7 12 高考专题高考中如何解答好离散型随机变量分布列问题 阳钊 离散型随机变量分布列自从实行新的课程改革以来，一直受到高考命题者的青睐，成为 继二面角之后高考的又一个热点，因此如何解答好离散型随机变量分布列问题，便成为决胜 高考的一个重要指标。本文想从三个方面谈起，以利于帮助学生很好的解决离散型随机变量 分布列的问题。 一. 正确理离散型随机变量的含义 离散型随机变量分布列其主要构成包含两方面的内容，一是随机变量的可能取值，二是 取该值时对应的概率值。正确理解离散型随机变量的含义，为我们求解相应的概率奠定了基 础。例如06全国II某批产品成箱包装，每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱， 再从每箱中任意抽取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件 二等品，其余为一等品. I 用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望； II若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这 批产品级用户拒绝的概率. 第一问中明确指出是在抽检过程中6件产品中二等品的个数，不难发现的取值为0, 1, 2, 3。但这里的取0是指在第一箱、第二箱、第三箱中分别取到2件二等品；取1是 指在第一箱、第三箱中分别取2件一等品同时在第二箱中取1件一等品1件二等品或在第三 箱中取1件一等品1件二等品同时在第一箱、第二箱中各取2件一等品；取2是指在第一 箱中取2件一等品同时在第二箱、第三箱中各取1件一等品1件二等品或在第一箱、第二箱 中各取2件一等品同时在第三箱中取到2件二等品；取3是指在第一箱取2件一等品，在 第二箱中取1件一等品1件二等品同时在第三箱中取2件二等品。而不是在包含3件二等品 的15件产品中抽取6件产品时含0件、1件、2件、3件二等品这种情形。 二、分清概率分布类型，正确理解二项分布与几何分布 分布列的求解中一要重视抽取中有无放回，二要正确理解二项分布与几何分布，找出它 们的异同。它们的共同特点是每次观察中出现的概率相等，且都为独立重复试验，不同点是 二项分布所考虑的试验是一个只有两个结果的有限次试验，而几何分布中是一个在依次试验 事件的概率；2首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事 件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望. 【解析】14表示事件“甲选择路径L,时，40分钟内赶到火车站”，耳表示事件“甲选择 路径L,时，50分钟内赶到火车站”，i l, 2 . 用频率估计相应的概率，则有P40.10.2 0.3 0.6, PA, 0.1 0.4 0.5 .pApa，甲应选择路径Z］； PBt 0.10.2 0.30.2 0.8 , PB2 0.10.40.4 0.9 PBQ PBJ , .I乙应选择路径L 2. 2用A, B分别表示针对1的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由1 知PA 0.6, PB 0.9,又事件A, B相互独立，X的取值是0, 1, 2, .PX 0 PAB PA P\B 0.4x0.1 0.04 , PX 1 PABAB PAPB PAPB 0.4 x 0.90.6x0.1 0.42 pX 2 PAB PA - PB 0.6x0.9 0.54 , ..X的分布列为 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 EX 0 x0.04 1x0.42 2x0.54 1.5 . 4. 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数 分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下 办理业务所需的时间分 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.3 0. 1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时. I估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率; 2.甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是， 乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一 题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选. （I ）求乙得分的分布列和数学期望； （II）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 【解析】（I）设乙答题所得分数为X ,则X的可能取值为-15,0,15,30. pX-15 马 -*■； C；o 12 CC2 5 PX15y 2； C；o 12 P（X0） 坚 C3 12 p（X30） 与■【. 驾12 乙得分的分布列如下 X -15 0 15 30 P J_ 兰