线性代数期末练习试卷四

卷六 .填空题每小题4分，共40分。请将答案写在答题纸上 1. 已知f 3 2x 1 3 -2 1 0 x x 4 -2 3 -4x 26 则r的系数为. 2.设A为四阶方阵，且|A| m o若将A按列分块为A a],a2，a3，a4，则 jttj a2, -2a [, 4a3 ,a2 a4| O -2 ,f⑴ 1 0 -3 3、 2 3 -1 6 2 4 1 -1 0 3 1 2 3.设A 4,设 A ,A.. ij x-l X 0 0 x-l 2 1 2 2 fA 是|A|中元素a,.,的代数余子式，则 5. 设A, B都是〃阶方阵, 旦 IA| -1, |B| 2 ,则 |ABT 2AB* | - -2 0 0、 6. 设矩阵 A 0-10，则A-2E-*A2 -4E 、7 0 3, 7. 已知向量组ttj 1,2,-1,1, a2 2,0j,0,a3 0,-4,5,-2的秩为 2,贝以 玉 2x2 2 8. 设线性方程组hx13x2x3 3有惟一解，则。力应满足的条件为 3工[ 4x2 。易b 9.设4阶矩阵B与A相似，且A的特征值为1,2,3,4,则B23B- 仔 1 1 1] 1*11 10.设矩阵A的秩/A 3,贝|]*o 11*1 、1 1 1 灯 .10 分已知％ 1,0,2,3,*2 1,l,3,5T,a3 1,-1,a 2,1，, a4 1,2,4,a 8r , p l,l,4,5,问a为何值时，。可由向量组ai，a2，a3，a4唯一地线性表出，并写出该表出式。 ‘1 0 0、 三. 10分设矩阵A,B满足关系式A*BA 2BA 8E,其中A 0-20, E为3 、。o b 阶单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，求矩阵B。 四. 10分已知三阶矩阵A的特征值为；1]1,人22,人33，B A A3 A 22 4人339人34 -3A 2E, 且f3 x2x l,求B的矩阵多项式fB的行列式。 五. 12分问当4取何值时，线性方程组 2 3邑x2 2x3 2 4 12 沔九 34 1工] 九尤2 人 3易3 有惟一解、无解、无穷多解、并在方程组有无穷多解时求出其通解。 1 -2 -2、 六. 10分已知实对称矩阵A -2 1-2,求一个正交矩阵P,使PrAP为对角矩阵。 、-2 -2 J 七. 8分设A E a/,其中E是〃阶单位方阵，a是〃维非零列向量，证明1 A2 A 的充分必要条件是aa l； 2当a，a l时，A是不可逆矩阵。 参考答案 -10 2,设A为四阶方阵, .填空题（每小题4分，共40分。） 2x 1 4 -2 1 0 1 X 3 X 3 -4x -2 X 2 6 ,则X5的系数为. 1.已知 f（X） 且|A| m o若将A按列分块为A （aa2，a3，a4），则 1 0 -3 3、 2 3 -1 6 4,设入 2 4 1 -1 o 3 1 2, A顷是|A|中元素a”的代数余子式，则 |； a2, -2a], 4a3, a2 a41 8m。 0 1 \ x-1 X 0 （1 1、 3.设A [2 -2 ,f x 0 x-1 1 ，fA i21 ； 0 \7 1 -2 1 3 A 3] 3A 32 4A 33 9A 340 5.设 A,B 都是如阶方阵,且 | A| -1, |B| 2 ,则[AB2AB*| 一手。 [-2 0 0、 0 0 0] 6.设矩阵A 0-10 ，则A-2E1A2 -4E 0 1 0 /0 3, 0 5 7. 已知向量组。1 1,2,-1,1, a2 2,0,,0, a3 0,-4,5,-2的秩为 2,则，3 x{ 2x2 2 8. 设线性方程组J2x13x2x3 3有无穷多解，则的值为a 2,b 4。 3尤] 4x2 ax3 b 9.设4阶矩阵B与A相似, 且 A 的特征值为 1,2, 3, 4,则2 3B-8e| -1600o k 1 1 1 k 1 10.设矩阵A 1 1 k 、1 1 1 的秩/A 3,贝-3 .10 分已知 ％ 1,0,2,3r ,a2 1,l,3,5r ,a3 1,-1,a 2,1 , a4 1,2,4,a 8r , 0 1,1,4,5,问a为何值时, 0可由向量组ara2,a3,a4唯一地线性表出，并写出该表出式。 1 1 1 1 1、 1 1 1 1 1 0 1-121 0 1-121 解A 2 3 a244 0 0 。101 、3 51 a 8 5； [0 00。1 0/ 当。 1 0即a -1时，0可由向量组a],a2,a3,a4惟一地线性表出。这时有 1 0 0 0 2、 Q 1 A T 0 1 0 0 Q 2 Q 1 0 0 1 0 1 Q 1 10 0 0 1 0 于是 B ci, a t a。 di 0x4. r a1 1a1 2 a1 34 三.（10分）设矩阵A,B满足关系式A*BA 2BA 8E，其中A 阶单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，求矩阵B。 解 由 |A| -2，及 AA* |A|E -2E o 可得 1 0 0、 0 -2 0 0 0 b / ,E为3 1 0 0、 -2 0 0、 A* -2AT -2 0 1 0 0 1 0 10 0 17 0 0 -2, 又山A*BA 2BA 8E,推知 A* 2EBA 8E n B -8A* - 2ET A1。 -4