线性代数课件期末总复习

线性代数的知识点 1 1、行列式 1. ”行列式共有2个元素，展开后有〃项，可分解为2行列式； 2. 代数余子式的性质 ① 、和的大小无关； ② 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③ 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|A|; 3. 代数余子式和余子式的关系M.. （-l）;yA..A.. （-l）;yM.. 4. 行列式的重要公式 ① 、主对角行列式主对角元素的乘积； ② 、副对角行列式副对角元素的乘积x（-l） ； ③ 、上、下三角行列式（|、||\|）主对角元素的乘积； n（n-l） ④ 、|，|和|，|副对角元素的乘积x（_l）F ; AnACCAOA ⑤ 、拉普拉斯展开式\A\\B\. A U （_］）,,,「,,冈同 C BOB1111BOBC1 11 1 ⑥ 、范德蒙行列式大指标减小指标的连乘积； 5. 证明|A|0的方法 ① 、|a| -|a| ② 、反证法； ③ 、构造齐次方程组如0,证明其有非零解； ④ 、利用秩，证明r（A） n 6. 克莱姆法则. ① 线性方程组的变量个数方程个数； ② 非齐次线性方程组系数矩阵行列式不等于0,有唯一解； ③ 齐次线性方程组系数矩阵行列式等于0,有非零解；不等于0,仅有零解。 2、矩阵 1. A是阶可逆矩阵 。|A| 0 （是非奇异矩阵）； 0 r（A） （是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 。齐次方程组如0有非零解； ◎ \fb e R, Ax b 总有唯一解； A与E等价； 。A可表示成若干个初等矩阵的乘积； 。A的行（列）向量组是的一组基； 2. 对于”阶矩阵4 AA* AA \A\E无条件恒成立； 3. （妒）*（4尸（Q）r（疽尸（4）「（疽）* （AB）r BtAJ（AB）* B A（AB）- B A 1 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和; 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆 S 、 若4 ..,则 、4, I、|| |a||A|---|A| ； .主对角分块 厂［;副对角分块 0 疽4■、况、 ；拉普拉斯 ⑤、 I； ‘ A-1 拉普拉斯 [c b \ -B lCA ] B- 2 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个mx”矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的F\ J \； Vz mxn 等价类所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A、B ,若rA rB o AmB ； 2. 行最简形矩阵 ① 、只能通过初等行变换获得； ② 、每行首个非0元素必须为1； ③ 、每行首个非。元素所在列的其他元素必须为0; 3. 初等行变换的应用初等列变换类似，或转置后采用初等行变换 ① 、若A,E E,X,则 A 可逆，且 X AL ② 、对矩阵4,8做初等行变化，当A变为E时，B就变成AT B，艮K A,B E,A-B ■, 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念 ① 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; ② 、A .,左乘矩阵a, 4乘A的各行元素；右乘，4乘A的各列元素； r i y1 1 1 、对调两行或两列，符号Eg,且Ei,jYEi,j,例如 i 1 、J I b 一1fl Y1 ④ 、倍乘某行或某列，符号,且涂-’Ei,例如 k-1 k*I 0 ③、q a2„ x2 8 全部按列分块，其中尸 b* ; 5. 6. 7. 8. 9. 10. ⑤、倍加某行或某列，符号E泌,且EAT 1 -1 1 E邸-k,如 1 1 1, k 丰 0； 矩阵秩的基本性质 ① 、0 M rA”, minm, n； ② 、rA『 rA； ③ 、若 AB ,则 rA rB ④ 、若P、。可逆，贝IJ rA rPA rAg rPAQ可逆矩阵不影响矩阵的秩 伴随矩阵 n ①、伴随矩阵的秩,4 1 0 rA n rA n-1 ； rA n-l ③、4区|妒、用|4广［ 关于A矩阵秩的定义描述 ① 、rA ”, A中有”阶子式不为0, 1阶子式全部为0；两句话 ② 、rA n , A中有”阶子式全部为0； ③ 、rAZ”，A中有阶子式不为0； 线性方程组Ax b ,其中A为ix矩阵，贝。 ① 、，与方程的个数相同，即方程组血方有仞个方程； ② 、与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b为元方程； 线性方程组Ax b的求解 ① 、对增广矩阵B进行初等行变换只能使用初等行变换； ② 、齐次解为对应齐次方程组的解； ③ 、特解自由变量赋初值后求得； 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程 allxlat2x2--- alnx,l bt a2iXla22X2...a2l,X„ b2 . ①、 Ml 。12 。1“、 0 ②、 21 a22, a2n 尤2 *2 .“ml am2 . , . amn bn. 内 a,„，x■，■■■ allmxn b„ 向量方程，A为nix”矩阵，m个方程，”个未知数 ④ 、alxl a2x2 anxn P 线性表出 ⑤ 、有解的充要条件rA rA,0M””为未知数的个数或维数 4、向量组的线性相关性 1. m个”维列向量所组成的向量组A a，构成xm矩阵A a”; m个”维行向量所组成的向量组B 伏此构成mx”矩阵8 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关。仙0有、无非零解；齐次线性方程组 ② 、向量的线性表出Ax b是否有解；线性方程组 ③ 、向量组的相互线性表示AX B是否有解；矩阵方程 3. 矩阵与功，“行向量组等价的充分必要条件是齐次方程组4r 0和Bx O同解； 4. rArA rA；