阶段测验(二)试卷答案

北京支通大学 2013〜2014学年第一学期概率会与教理统计阶段删验C二） 一.（本题满分8分） 将三封信随机投入编号为1、2、3、4的四个信箱，记X为1号信箱内信的数目，K表 示有信的信箱数目，求二维随机变量（X, 7）的联合分布律（5分）及随机变量X与P各 自的边缘分布律（3分）. 解 X的可能取值为0, 1, 2, 3； P的可能取值为1, 2, 3. （x, k）的联合分布律以及x与r各自的边缘分布律为 设二维随机变量（x, p）的联合密度函数为 y cx2y 0 X2 V 1 其它 ⑴ 试确定常数c （4分）；⑵ 求随机变量X的边缘密度函数fjx） （4分）. ii4 1 lj j fx, y dxdy - j dx cydy 一c OO OO] 工21 21 所以，c . 4 2 当-1x1 时， fx x bx，V 协j 弓必 g M X2 1-x4 1冬48 因此，X的边缘密度函数为 杼）十顼其它 1 x1 三. （本题满分8分） 某人有把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他逐个试开，试过的不再重试.令X 表示试开次数，求随机变量X的数学期望E（x） （4分）与方差D（X）（4分）. 解 随机变量X的取值为1, 2, , n,并且 P{XR} L, （k -1, 2,，）. n E（X） kxP{xk}kx- --Yk - ， k\ki n n ki n 22 Ex22xp{x小2xJ_ L2L 12〃 1 S 12〃 1, k\k\ n n ki n66 所以， oxex2ex2 eD[丁卜号. o \ 1 J 12 四. 本题满分8分 设随机变量X Njn, W,再设P |x一求随机变量P的数学期望Ey 4 分）与方差r＞（y）（4分）. 随机变量X的密度函数为帆（X） I e 2，，（-ooxoo）. 兀J 8[8 所以’EV e|x-〃| j|x_A|/xJ|x-a| 2一-〃2 切〃e， 令 ,贝du ,代入上式， OO 2 uc r 72r I one 2 du o 址毛 V 2.71 U2 OO J, V 71 0 A// e 2尸 dx 目W网 X〃|2 DXCr2, 所以，DyEy2-Ey2 o-2 五. （本题满分8分） 一。 71 设甲、乙两种电器的使用寿命X与P都服从指数分布，其密度函数分别为 有（X） x0 0 x0 与人60 y 0 y0 其中人0, //0都是参数.并且X与P相互独立.试求甲种电器的使用寿命不超过乙种 电器的使用寿命的概率. 解 因为随机变量X与K相互独立，所以（X, P）的联合密度函数 fx, yfxxny 独x0, y0 0其它 所求概率为p（xw）,则有 pxy xy ydxdy jdx J 初edy 0 x oOOO j edx j edy 4 j 』一*「公4 j edx Ox00 _/_成小_J_ 4 /Z 04 六. （本题满分8分） 某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为70件、20件、10件.现从中抽取 一件产品，记 v [1若抽到为一等品v [1若抽到为二等品 0 其它（0 其它 试求X与P的相关系数并判断X与P是否相互独立 解 （X, P）的联合分布律及各自的边缘分布律为 * 0 1 Pi- 0 0.1 0.2 0.3 1 0.7 0 0.7 Pi 0.8 0.2 所以，E（X） 0.7, D（X） 0.21, E（Y） 0.2, D（Y） 0.16 . 又 E（XP） 0, 所以，cov（x, y） E（XY）-（E（X））（E（y）） -0.14 -0.7638 , _cov（X, K）_-0.14 p 4dx4dy V021V0I6 由于Q/0,所以随机变量X与Y相关，从而随机变量X与P不独立. 七. （本题满分8分） 设随机变量X 与K 满足E（X） 2, E（P） 3, D（X） 4, D（P） 16, E（XP） 14, 试用Chebyshev （切比雪夫）不等式估计概率p{|3X-2K| 3}. 研 3X-2K） 3E（X）-2 研 K） 3x2-2x3 0, Z）（3X -2P）9Z）（X）4Z）侦）-2x3x2cov（X, 7） 9x4 4x16-12x（研 XK）-研 X）研 K）） 36 64-12x（14-6） 4, 所以，由Chebyshev （切比雪夫）不等式，有 P{\3X-2Y\ 3} P{|（3X _ 2K）_ E（3X -2Y）| 3） D（3X2K）4 . 99 八. （本题满分8分） 设随机变量X], , X“相互独立，都服从区间（0, 1）上的均匀分布，令 U max（X], , X“）， 求U的密度函数九（x） （4分）以及E（U）（4分）. 解 X,的密度函数为p（x） V ‘0 x0 分布函数为 F（x） x 0 x 1 . 1X1 所以，随机变量U的密度函数为 （\ r eV 机-1 （ \x 1 x 1 如）（同7侦⑴）W V甘 0其匕 4-0011S xndx 所以，E（U） Jxp{x）dx jx nxnxdx n 800 九. （本题满分8分） 设随机变量X与P相互独立而且具有相同的分布，其中X的分布律为 X012 令Umin（X, K）, V max（X, 7）,求二维随机变量（U, V）的联合分布律，以及 U与V各自的边缘分布律（6分）.并说明随机变量U与V是否相互独立（2分）. 解 （u, V）的联合分布律以及U与V各自的边际分布律为 X 0 1 2 Pi- 0 1 2 2 5 9 9 9 9 1 2 3 1 0 9 9 9 1 1 2 0 0 9 9