随机过程试卷(更新)

随机过程试卷 一、简答 1. 随机过程的正交、互不相关和互相独立及其相互关系。 答教材P49 ① 如果对任意的和tm有 fxY 31，*2，’ ’ ’ X” ； ‘1，‘2，’ ’ ，力，’’, ； ‘1，‘2，’ ’’） f X 31 *2， ； ‘1，‘2， 〃）n 31，无，’； ‘1，‘2， m ） 则称x（r）和y（）之间是相互独立的。 ② 两个随机过程X。）和Y（t）,如果对任意的匕和压都有互协方差函数为o,即 Cxy（2） 则称X。）和丫（f）之间互不相关。两个互相独立的随机过程必不相关，反之不一定。 （高斯随机过程的互不相关与互相独立等价） ③ 两个随机过程X。）和KQ）,如果对任意的t[土住T ,其互相关函数等于零，即 RxY （ ）。 则称X。）和Y（t）之间正交。而且正交不一定互不相关。 （均值为零的两随机过程正交与互不相关等价） 2. 随机过程的各态历经性及实际意义。 答教材P65-69 平稳过程的各态历经性，用数学语言来说，即关于（充分长）时间的平均值，近似地等 于观察总体的集合平均值。如对均方连续的实平稳过程e （-oo,oo）｝,初x 是X。）的均值，是平稳过程中所有可能出现的曲线（样本函数）的集合平均值。而对X。） 1 [T 中任一现实曲线x（0 , mT [x（t）dt是x（f）在[-对时间f的平均值，称为时间平 2T Lt 均值。显然X0）的每一曲线都在的上下波动，则可以想象，当r充分长时该现实曲线 X。）可以很好地代表实平稳过程e （-00,00）｝的整个性质，如mTmx.对于这样的 平稳过程，称具有各态历经性，但只在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。 要讨论平稳过程的数字特征，就应该知道一族样本函数。而样本函数往往需要经过大量 的观察实验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。讨论平稳 过程的历经性，就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均 值、协方差函数等数字特征。 3. 高斯随机过程的互不相关与互相独立等价。 答教材P159-160 必要性若XvX2,---Xn是相互独立的正态随机变量，贝U必有 fX （知工2， , fX、（工2）fX,（X） 9x（Vi，V2,,V） 9x,（Vi）9x2（V2）・9x, X） pexpp7v,. 房v j exp ｛疙以凹-支E v J 其中，丹E[X；]，W 。[乂』。1,2,・“，〃. of 0 - 0 0 b；0 c 000 00 - a；_ 是协方差矩阵，显然，ik时，Cik 0,故X,.与X.是不相关的。 充分性若X],X2，，X,,是两两互不相关的正态随机变量，则 G 皿-同）（X,-//,）] 0, S x（v1,v2,---,vn） exp|yvr//-|vrCvj 其中V （为“2,,，。为协方差矩阵，因而有 9x（V1，V2, , V,） exp 支G v J n exp 如初--C.v；卜 Y[（px.（V,） Z 1IZ J jl 其中9x,（、）是正态随机变量X]的特征函数。依特征函数性质知X], X2，,X”相互独立。 4. 泊松过程是非平稳随机过程。 答教材P56, P184 设（X（）JeT｝是一个随机过程，E[X2（0]oo,且 E[X r] -mx const Rtvt2 E[X tX t - r] 7r,r ti-t2 则称｛XQ/eT｝为广义随机平稳。 泊松计数过程 均值 E[Nt0t,t0] At,均方值 E[N2t0 t,t0] At2 At, 相关函数RNtl,t2 A2tlt2 人minS，] , 不符合上述定义，因此泊松过程是非平稳随机过程 5. 白噪声过程是零阶马尔可夫过程。什么叫无记忆过程白噪声过程是无记忆过程吗 答教材P53-54 随机过程按记忆特性分类 1 纯粹随机过程无记忆，指在一给定的G用X0定义的随机变量，与所有其他的，⑵， 用X。定义的随机变量是相互独立的。白噪声是其一个重要的例子。 2 马尔可夫过程一阶、二阶、高阶马尔可夫过程；纯粹随机过程又称零阶马尔可夫过 程。 3 独立增量过程，独立增量过程｛Xf/ZO｝是一个马尔可夫过程。 二、设随机过程 X [/ cos at V sin cot, Yt U sin at V cos cot, Zt -U sinZ Vcos。其中aQ , [/和V是两个相互独立的随机变量，且 E[U] E\V] Q, E[U-] E\V2] o■- 1 证明X。、0和ZQ各自是广义平稳的随机过程。 2 证明Xf和丫什不是广义联合平稳的。 3 证明X0与Z0是两个平稳相关的随机过程。 4 X0的均值，自相关函数是各态历经的么 1 证明X。的均值 E[Xr] E[t7]cos Ot E[V]sin at O 均方值 E[X2] E[U2 ] cos仞 E\y 2 ] Sil仞 2E[f/V] sin M cos a2 oo 自相关函数 Rx4， Rx7 S COS aT, T tx-t2 所以X。是广义平稳的随机过程，同理丫。和Z0是广义平稳的随机过程。 2 证明Rxy E[〃 cos仞i Vsin仞][/ sinat2 Vcos2] E[t/2]cos1 sincot2 E[V2]sin1 cosM2 E[t/V]cos -t2 j2 sin coti L 二 er2 sin 22,r 因此RxyJU不仅与r有关，得出X。和yo不是广义联合平稳的。 3 证明Rxz,t2 E[XZt2] E[U cos atx V sinoti -/7 sin at2 V cos at2] -cr2 sin cot. t t{-t2 类似的，有 Rzxtvt2 j2 sinr 所以X。与Z0是两个平稳相关的随机过程。 4 解由于RxT a2 cosr及以乂0,故有 1 f2T 2 lim1-- a cosrdr ttoo 2T Jr 2T lim rfl- 0因此X。的均值是各态历经的。用定理证 5 r Jo I 2T 1一271一27 mF HT-HT- -- -- 设x。） 〃cos仞 vs