高中文科数学排列组合二项式定理复习

第九讲、排列、组台、二项式定理 六、统计 （）随机抽样 1. 了解随机抽样的意义。 2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。 （二）总体估计 1. 了解分布的意义和作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们 各自的特点。 2. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差及方差。 3. 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。 4. 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用 样本估计总体的思想。 5. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。 七、概率 （一）事件与概率 1. 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。 2. 了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式。 （二）古典概型 1. 理解古典概型及其概率计算公式。 2. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 分类计数原理和分步计数原理 1. 分类计数原理做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有秫］种不同的方 法，在第二类办法中有初2种不同的方法，......，在第n类办法中有％种不同的方法.那么 完成这件事共有 N mAm2 ■■■ mn 种不同的方法. 2. 分步计数原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有初i种不同的方法， 做第二步有秫2种不同的方法，，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 N m}xm7x---xmn 种不同的方法. 3. 两个基本原理的作用计算做一件事完成它的所有不同的方法种数. 4. 两个基本原理的区别一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘 法原理是“分步完成”. 5. 原理浅释（可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同） 分类计数原理（加法原理）中，完成一件事，有类办法”，是说每种办法互斥，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时 他们之间没有重复也没有遗漏.进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独 立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以. 分步计数原理乘法原理中，完成一件事，需要分成个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不 能有重复和遗漏.如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要 求相互独立*即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理. 排列与组合的基本问题 1. 排列的概念从〃.个不同元素中，任取m m n 个元素这里的被取元素各不 相同按照丁定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取出农个元素的丁个排划. 2. 排列数的定义从几个不同元素中，任取m ,mn 个元素的所有排列的个数叫 做从〃个元素中取出m元素的排列数，用符号耳表示. 3. 排列数公式A™ nn -ln - 2- m 1 m, n N*,mn 4 .阶乘汨表示正整数1到〃的连乘积，叫做凡的阶乘.规定0 1. n I 5.排列数的另一个计算公式A“ w -m 6 .组合的概念一般地，从〃.个不同元素中取出m m 个元素并成一组，叫做从〃 个不同元素中取出m个元素的一个组合. 7. 组合数的概念从〃个不同元素中取出m m n个元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的组食数.用符号C,表示. 8. 组合数公式炬〃1〃2-。秫1或c』湖iirneN. 9. 组合数的性质1 C,C,；f.规定Cl；组合数的性质2 CMC C尸 分组堆问题的六个模型①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分; ⑤无序等分；⑥无序局部等分； 插空法.解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决.例 如7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_3600 捆绑法.相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成一个” 元素进行排列，然后再局部排列.例如6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同 坐法是_240 种. 排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法. 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了 问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍,例如从集合｛0, 1, 2, 3, 5, 7, 11｝中任取3个元素分别作为直线方程AxByC0中的A、B、C,所得的经 过坐标原点的直线有30条. 隔板法n个相同小球放入mmWn个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价 于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段插入m1块隔板，有C0】种 方法 错位法编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要 求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列.特别当n2,3,4,5时的错位数各为 1,2, 9, 44. 2个、3个、4个元素的错位排列容易计算。关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔 除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题 ① 5个元素的全排列为g120； ② 剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号2个错位的Cjxl种、恰好 有2对球盒同号3个错位的绪x2种、恰好有1对球盒同号4个错位的C；x9种， 120-1-C； x 1 -Cj x 2 -C； x9 44 用此法可以逐步计算6个、7个、8个、元素的错位排列问题， 容斥法n个元素排成一列，求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数，宜用容斥 法’ 二项式定理 1. 二项式定理及其特例 1 a by Ca Cab C；an-rbr C‘；b〃 eN*, 2 l xn l Cf*XHCrnX AX . 2. 二项展开式的通项公式Qir 0,1,2，h. 3. 常数项、有理项和系数最大的项 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制； 求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4 .二项式系数表杨辉三角 （a by展开式的二项式系数，当〃.依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都 是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质 （a by展开式的二项式系数是C, C*, C*，C；；. C；可以看成以r为自变量的 函数 f（r）,定义域是（0,1,2