高三数学--椭圆

环球雅思教育学科教师讲义 讲义编号 副校长/组长签字签字日期 学员编号 学员姓名 年级高三课时数3 孙赫辅导科目数学学科教师李君浩 课 题 椭圆的定义和性质 授课日期及时段 1理解椭圆的第一定义，熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。2 教字日珂 掌握标准方程中a, b,c的几何意义3椭圆的第二定义。 重难点 椭圆的定义,标准方程和性质的运用以及椭圆与其他曲线的位置关系 【考纲说明】 1. 掌握椭圆的定义几何图形标准方程及简单几何性质. 2. 了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用. 3. 理解数形结合的思想. 4. 椭圆部分是圆锥曲线部分的重点，高考中大约占25左右，是必然要考察的内 容. 【趣味链接】 圆锥曲线的发现 早在公元前5世纪公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数学家提出了 “化圆为方”、“立方倍积” 和“三等分任意角”三大不可能问题。当初，他们并不知道这是不可能问题，所以努力想解决这些它们。 虽然他们没有能解决这三大问题，但是却获得了不少意外的成果。据说，圆锥曲线的被发现，就是从这里 开始的。 古希腊数学家希波克拉底（Hippocrates of Chios公元前460）,在解决“立方倍积”问题时， 发现圆锥曲线。另外一位古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus公元前375 公元前325）,用平面截 不同的圆锥，发现圆锥曲线。 关于圆锥曲线的被发现还有一说，根据数学史家诺伊格鲍尔（Neugebauer, Otto 1898 ）的意见, 圆锥曲线可能是在制作日曷时被发现的。可惜，关于日唇的发明和制作在古代就已失传，所以不可详考。 【知识梳理】 1、椭圆的第一定义平面内一个动点P到两个定点4、E的距离之和等于常数 |pq \ \PF2 |2a|E|，这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭 圆的焦距. 注意若|捋\ \pf2 ||鸟叫，则动点P的轨迹为线段鸟％；若|捋| ”E ||乌％|，则动点尸 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 22 1.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程t 5 la人0,其中c2 a2 -b\ a b 2.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程匕与 lab0,其中c2 a2-b2； a b 3、椭圆雪「 laZ0的简单几何性质 a* b- 22 1 对称性对于椭圆标准方程二土 10人0是以x轴、y轴 a b 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。 2 范围椭圆上所有的点都位于直线x a和y 土力所围成的矩形内， 所以椭圆上点的坐标满足\ a, \y \ b 0 3 顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆 二 10人 0与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为Aa,0, A,0, a b B]0,-b, B20,b.③线段A4,凡刀2分别叫做椭圆的长轴和短轴，| AA2 1 2。，I BxB2 | 2方。 。和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 2c c 4 离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e 一。②因为 2a a a c 0,所以e的取值范围是0 e 1 o e越接近1,则c就越接近。，从而bJa2 -c2越小， 因此椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,从而b越接近于。，这时椭圆就越接近于圆。当且 仅当a b时，c 0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 注意 22 椭圆一 --7- a2b2 1的图像中线段的几何特征如下图 r\ 2 1pm, lPM, |； Ic 阴 | 网 1 2。 朋 I 2 I \PM, \ \PM2\e 4、椭圆的令一个定义到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有 矿网| - |p \pm2 \e 2222 5椭圆一云 1与 1 （a Z 0）的区别和联系 标准方程 22 二 『1 ab0 a2 b- 22 土 5 1 ab0 a2 b2 图形 y B. x B, X 性质 焦点 F{ -c,0, F2 c,0 Fi0,-c, E0,c 焦距 FE 2c 皿2c 范围 x a, y b | x b , y a 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 七0, 0,。 O,0, 0 轴长 长轴长二2a ,短轴长二2b 离心率 c e 0el a 准线方程 w c a2 y 二 c 焦半径 PF[ a exQ, \PF a-ex0 PFa ey0, \PF2\a-ey0 【经典例题】 1. （20XX年高考（新课标理））设F]F,是椭圆E二 1（。〉力〉0）的左、右焦点，P为直线x 上一点，A F、PF） 一a b2 是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（） 1 A.- 2 2 B.- 3 c 3 C. 4 4 D.- 5 X2 V2X2 V2 21 . （20XX年高考（上海春））已知椭圆G 1,C2 1,则 1 12 42 16 8 ［答］（） a. g与G顶点相同, b. g与G长轴长相同 c. G与Ci短轴长相同 D. q与。2焦距相等・ 32. 43. 54. （20XX年高考（大纲理））椭圆的中心在原点，焦距为4, 一条准线为x -4,则该椭圆的方程为（） 22222222 xyxyxy, xy, A.1 1 B.1 1 C.1 1 D.1 1 161216884124 22 （20XX年高考（四川理））椭圆土匕1的左焦点为F ,直线x m与椭圆相交于点A、当△E48的周长最 43 大时，AFAB的面积是. 22 （20XX年高考（江西理））椭圆二 土 l（a〉b〉O）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是R, .若 a b AFj, |FR|, |RB|成等比数列,则此椭圆的离心率为 22 6. （2009江西卷理）过椭圆 1 （ab 0）的左焦点R作x轴的垂线交椭圆于点F,凡为右焦点，若 a