【精品】难开能开-笔算开方科学漫步

难开能开 笔算衣科学漫步 数学是一门工具，它最基本的功能就是计算.从古至今，数学凝聚着无数劳动人民的 辛勤和汗水，产生了加减乘除四则运算。尤其是在近代，数学上出现了指数和对数。运 算种类的增多一方面推动了社会的发展另一方面也给手工计算带来了麻烦。有多少人能 计算“的值呢当然，有人可能会说计算机可以替我们进行复杂的计算。的确是这样, 计算机用二分法可以很快的计算出扼的值，但计算机靠的仅仅是速度而不是方法。我最 近对笔算右进行研究一来是为了找到笔算开方的方法，二来是为了看是否有一种更好的 计算赂的程序能代替纯粹的二分法并提高运算速度。 经过研究，我发现根式有一套比较新奇的方法，而且我已经总结出了一套类似于加减 乘除的开方计算法则，找到了开方（递推）通式。接下来，我将为大家详细的讲解推导并证 明开方通式，介绍笔算开方的方法。 （一）笔算正 首先，以x26896为例, 向大家介绍一下开二次根式的计算法则。 由笔算开方法则有 1. 2. A1 2 68 96 1 2 68 96 1 ①从低位到高位两位排一格,最高位可不排满。 ②.在第一格的左方写上A,求出满足不大于第一格数 最大正整数A （如例中的42, A】取最大正整数1 标在第一格上方，将的值写在第一格下方o 3. A1 [_2 1 1 68 I 96 用第一格的数减去，对齐在下一行写出结果并与第二 A2 1 68 的数构成新数（如上面的168）在新数左方写上A，代表 2 68 96 164 1 A2 | 168 20A1A2 20A 一 156 A3 |12 96 2010AlA2 A3 320A3 1296 0 下一步要求的数。 ④ 在新数下方列出开方算式20 Aj A2并将A]l代 写在下一行。求满足A2 20 A2 168的最大正整数A 写在第二格上方如上图中的6 ,将A 6代 A, 20 A2168,得数写在20 A2 ”下方 ⑤ 。用168 - 156得12并与第三格数96组成一个新 1296,在新数左方写上A3代表下一步要求的数。 ⑥ 列出开方算式2010A]A2 A3将4 1 A2 6代入算式。将结果320A3也写在算式下面。 。求满足A3320 A31296的最大正整数 A3 , A3 4,写在第三格上面。将43204的值写下。用1296-12 得0结束运算。 由以上算式可知当令以求出的得数为A,下一步要求的数为B时，开二次方时总是有 B20AB进行计算来求B。为什么是这样呢 D 我们设一个十位数10AB A为十位上的数，B为个位上的数 那么有10AB 2100A220ABB2 在笔算式中10A1 B 10A1 | 100A420AB* 100A2 B| 20ABB 20AB 相当于在10AB②中第一次减去了 100A2,剩下20ABB2,我们把B提一 个到左边，在下面就得到了 20AB。 2如果是一个三位数IOOA1IOA2A3,那么有■ IOOA1IOA2A3 210000 A2000AiA2100 A；200A1A320A2A3 A； 我们用开方算式把右边开平方 100A110A2A3 100A110000A1300A； 30A,A2 A；2000AlA2100A22200AlA320A2A3A3 lOOOOAf 10A202000A1A2100A22 200A110A2 ①一 2000A1A2100A22 A31A320A2A3A32 2100Al10A2A3 ② 一 200A1A320A2A3A32 0 ① 由于200A110A2摆在十位上，实际运算中只有20A,A2。 ② 中可化为20 10AiA2 A3o 3如果是由A” A2, ......, An排列成的一个数x,那么x2由乘法算式可算得如下 Al A2 A3 A4 A5 An-3 An-2 An-1 An X Al A2 A3 A4 A5 An-3 An2 Anl An AnAl AnA2 AnA3 AnA4 An2 AkAl AkA2 AkA3 AkA4 Ak2 - AkAn A4A1 A4A2 A4A3 A42 A4Ak A4An A3A1 A3A2 A32 A3A4 A3Ak A3An A2A1 A22 A2A3 A2A4 A2Ak A2An A12 A1A2 A1A3 A1A4 AlAk AlAn 在笔算去中我们 第一步求出A”同时消去2项； 第二步用A2 20A1A2求出A2，同时消去Ai - A2和A；； 第 k 步用 Ak[20A1A2......Ak』Ak],其中 A1A2...... Ak』为 A” A2, ......Aki 排列成 的数同时消去了 A] Ak , A AkAk-i Ak，项。 第n步时，消去了 AiAn, A2An A；项。 而从上面的乘法算式中我们会发现如果要消去A】A2和A；项等于要消去两个A】 A和一 个即2 Ai A ,也可以写成A2 20A1A2。依此类推，如果要消去Ai AK A2 Ak，项。等于是要消去Ak 20A1AAk-iAQ kel, 2, ...n这正好与开方式 B 20AB吻合，而且我们会发现，当求出An后，我们正好消去了劣...3 例笔算VI盘（精确到小数点后两位） 由笔算开方法则有1 .892 A1 3 | . | 58 一 1 2 58 20A1A2 20A2 224 A3340 20A1A2A3 60A3 3321 A4790 20A1A2A3A/ 29344- 1756 （二）笔算折 既然爪可以进行笔算，那么，我们猜想是不是VI也可以进行笔算呢带着这份猜想, 下面我们就一起来探究折的笔算递推式。 由于开方运算是指数蓦运算的逆运算，先让我们对3进行分析。 通过计算我们有 II3-1000 300 30 1 331 123- 1000 300 x 230 x487282x364 133-1000300 x 330 x 92711973 x 399 143 - 1000 300 x 4 30 x 16 64 1744 4 x 436 213-8000 300 4 30 x 2 1 1261 223-8000 300 x 8 30 x 8 8 2648 233- 8000 300 x 12 30 x 1