2021第3章第2节利用导数解决函数的单调性问题

第二节利用导数解决函数的单调性问题 ［考点要求］1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单 调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不会超过三次） 夯实基础知识 课前自主回顾 （对应学生用书第47页） I必备知识填充］ 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数v/（x）在区间 （Q,。）上可导 f x0 Rx）在（a, 0）内单调递增 /W0 只x）在（a, 0）内单调递减 /x0 月力在（a, 0）内是常数函数 ［常用结论］ 1.在某区间内/（x）＞0（/（x）＜0）是函数只x）在此区间上为增（减）函数的充分丕 必.爰.条.住. 2. 可导函数人x）在（。，0）上是增（减）函数的充要条件是对都有 fG）（X）W0）且「（X）在（a,。）上的任何于区闻内都不恒为零. I学情自测验收］ 一、思考辨析（正确的打“””，错误的打“ X”） （1）若函数人）在（。，0）内单调递增，那么一定有/（x）＞0.（） （2）如果函数/（）在某个区间内恒有/（x）0,则只x）在此区间内没有单调 性.（） （3）在（a, 0）内f（x）W0且/（） 0的根有有限个，则Rx）在（a, 0）内是减函 数.（） ［答案］（1）X （2）V （3）V 二 教材改编 1. 如图是函数y/x）的导函数yf（x）的图象，则下面判断正确的是（） yfM A. 在区间一3, 1是增函数 B. 在区间1, 3是减函数 C. 在区间4, 5是增函数 D. 在区间3, 5是增函数 C [由图象可知，当e4, 5时，/■ x0,故矣c在4, 5上是增函数.] 2. 函数fixcosxx在0,兀上的单调性是 A. 先增后减B.先减后增 C.增函数D.减函数 D [因为/x -sinx-l0在0,兀上恒成立， 所以只工在0,兀上是减函数，故选D.] 3. 函数x-lnx的单调递减区间为. 0, 1][函数只工的定义域为a|a0},由/1--0,得OVxWl, 所以函数/x的单调递减区间为0, 1].] 4. 已知x3-ax在[1, 8上是增函数，则实数。的最大值是. 3 [/Fx 3x2即 OW32， 又因为[1, 8,所以oW3,即a的最大值是3.] 一一嬖堂巷挂. 课堂考点探究 破敷寅考缨一一一 对应学生用书第48页 考点1不含参数函数的单调性 保通法求函数单调区间的步骤 1 确定函数危；的定义域. ⑵求加. 3 在定义域内解不等式/x0,得单调递增区间. 4 在定义域内解不等式/0,得单调递减区间. 曜典题1.函数 lx-sinx在0, 2兀上是 A.单调递增 B. 单调递减 C. 在（0,兀）上增，在（兀，2兀）上减 D. 在（0,兀）上减，在（兀，2兀）上增 A [/（） 1-cos x0在（0, 2兀）上恒成立，所以在（0, 2兀）上单调递增.] 2. 函数y-lnX的单调递减区间为（） A. -1, 1] B. 0, 1] C. [1, 8 D. 0, 8 1 9 B 「.尸尹2Inx, _ , 1 ..eo, , y （工一1） x1 由ywo可解得owi, .,.v|x2-lnx的单调递减区间为（0, 1],故选B.] 3. 已知定义在区间（一兀，兀）上的函数/x）xsinxcosx,则只工）的单调递增 区间是. 兀F7C （71, 方）和（0, 2） [f（x） sincos x sin xx cos x, 令 f（x）x cos x0, 7T7T 则其在区间（一兀，兀）上的解集为（一兀，一歹）和（0, 2）, 7T7T 即只X）的单调递增区间为（一兀，一矽和（0, 2）-] II点评求函数的单调区间时，一定要树立函数的定义域优先的原则，否则 极易出错.如T2. 考点2含参数函数的单调性 ■通法研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的 影响进行分类讨论. （1）讨论分以下四个方面 ① 二次项系数讨论，②根的有无讨论，③根的大小讨论， ④根在不在定义域内讨论. 2 讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类. 3 讨论完必须写综述. 翻典例 已知函数j{xr-2a In xa-2x,当aVO时，讨论函数只工的 单调性. ［M］ 函数的定义域为0, 8, f 3一卖一2 . X 22 ① 当一a2,即a2时，f x30,只工在0, 8上单调 递增. ② 当 0 aV2,即一2VaV0 时，0 x-a 或 x2 时，f x0; a x2 时，f x0, .fix在0, -, 2, 8上单调递增，在一。，2上单调递减. ③ 当一。2, 即a2时， VOx2 或 xa 时，f x0; 2xa 时，f 力0, 在0, 2, 一a, 8上单调递增，在2, 一a上单调递减. 综上所述，当一2。0时，只在0, a, 2, 8上单调递增，在一。， 2上单调递减；当a2时，Rx在0, 8上单调递增；当。一2时，只”在 0, 2, a, 8上单调递增，在2, a上单调递减. IS点评含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于或小于零的不等式的 解，在划分函数的单调区间时，要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间 断点. 曜典题巳知函数yxln exlaxa0,讨论函数y/x的单调区间. W1 ［解］fweA_|_|7i- a- ① 当aNl时，f x0恒成立, ..当。弓［1, 8时， 函数yfix在R上单调递减. ② 当0aVl时， 由/x0,得lae ll, 即 e， 1 ,解得 xln ; 1 a1a 由/x0,得lae lVl, 即 e* 1 ,解得 ln T Cl 1a1a ..当。弓0, 1时， 函数yfx在In冒嘉，8上单调递增， 在一8, in ］口上单调递减. 综上，当。弓［1, 8时，犬在R上单调递减； 当。仁0, 1时，只工在In仁;，8上单调递增， 在一8, in ［土云上单调递减. 考点3已知函数的单调性求参数 鼠通法根据函数单调性求参数的一般方法 1 利用集合间的包含