2021高中数学第50炼等比数列性质含等差等比数列综合题

第50炼等比数列性质 一、基础知识 1、定义数列｛｝从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数q（次0）,则称｛。“｝为 等比数列，这个常数q称为数列的公比 注非零常数列既可视为等差数列,也可视为0 1的等比数列，而常数列0,0,0,-只是等差 数列 2、等比数列通项公式anax-qn-｛,也可以为anam-qn-m 3、等比中项若a,b,c成等比数列，则b称为a,c的等比中项 zy b （1）若b为a,c的等比中项，则有- -b2ac b c （2）若｛｝为等比数列，则Pn*, anl均为an,an2的等比中项 （3）若｛qj 为等比数列，则有m n p q oaPaq 4、等比数列前〃项和公式设数列｛｝的前〃项和为 当q 1时，则｛。“｝为常数列，所以S na｝ aAl-q） 当时，则 L 1-0 可变形为s* l _Q ）4矿一_ ，设k -,可得Snk-qn-k 1-qq-1 q-l q-\ 5、由等比数列生成的新等比数列 （1）在等比数列｛｝中,等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列｛q｝,｛々J,则有 ① 数列｛知* （k为常数）为等比数列 ② 数列园（人为常数）为等比数列,特别的，当2 -1吐即p-为等比数列 ③ 数列力,｝为等比数列 6、相邻次项和的比值与公比0相关 设 S aml am2 ■■■ amk,T anl an2 □*,则有 2 Qn-m ■■Q an s a皿2 . .练k q q T an} an2 auk anq q 特别的若巧 ak 有。奸1 ak 2 a2k Sq a2kl a2k2 ■■■a3k S3k S2k- 则 Sk2k Sk3k S2k ■-成等比数列 7、等比数列的判定假设｛a｝不是常数列 1定义法递推公式、 qN an 2通项公式ank-q指数类函数 3 前/项和公式Sn kqn -k 注若S〃 kq则｛｝是从第二项开始成等比关系 4 等比中项对于X/nN*,均有a， aaz 8、 非常数等比数列｛｝的前〃项和S„与上前〃项和7；的关系 _al[Lq -i I ，因为上 an 是首项为上，公比为L的等比数列，所以有 axq n 1 q i 1- n ax q /-1 q i-l fli .iz1 0iq_i q1 q a；qi q T 1 s” _ ai-00-1 例1己知等比数列｛”“｝的公比为正数，且。2 1,03 2。；,则。2 思路因为a3a9 aj,代入条件可得aj 2q；,因为q〉0,所以％ 0 扼 所以 Go a 16 答案16 例2已知｛｝为等比数列，且％ 4皿一16,则％ A. 64B. -64C. 8D. -8 思路一由也,,“7可求出公比里4,可得 2,所以％ 心寸4 2 8 a3 思路二可联想到等比中项性质，可得忒64,则％ 8,由等比数列特征可得奇 数项的符号相同，所以％ -8 答案D 小炼有话说思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。 例3已知等比数列q的前项和为则实数f的值为 A. -2B. -1C. 2D. 0.5 思路由等比数列的结论可知非常数列的等比数列，其前〃项和为Sn kqn - k的形式, 所以 S f 2”T 1 4 2” 1,即 4 1 m f 2 2 2 答案A 例4设等比数列｛｝的前〃项和记为S”,若S]oS512,则5禹 3 211 A. B. C, D. 4 323 思路由S,, L可得0 L, S5 ，可发现只有分子中q的 指数暴不同，所以作商消去％后即可解出q,进而可计算出Sl5 S5的值 1-q5\-q 戋 1 051，解得帘 S5 1-q52 所以 5_叩寸I _1寸_1一 答案A 例5已知数列｛。“｝为等比数列，若角 1，则％（2心）纯％的值为（ A. 10B. 20C. 100D. 200 思路与条件a4 a6 10联系，可将所求表达式向气，％靠拢，从而 。7 （苗 2 ） aiai 2o7o3 a3a9 a 2a4a6 a （4 ），即所求 表达式 的值为100 答案C 例6已知等比数列｛｝中％1，则其前5项的和S5的取值范围是（） A. [1,co）B. --|,co C. [5,co） D. （8,0）U[5,oo） 思路条件中仅有。3 ,所以考虑其他项向。3靠拢，所以有 ]] Ss -H ] q q」 q q 1,再求出其 一 q- qq q切打 值域即可 解S5 q ㈤ 。3 。4 。5 Cl-j Cl-j2111 h q q 2 ] qq q qq q if q- l q 1 q I q 一 1,设 t q ，所以 f c co,2] U[2,co 55 2 -l --j -- S5 e[1,co 答案A 例7已知数列｛a“｝是首项不为零的等比数列，且公比大于0,那么q 1 是数列｛a｝是 递增数列”的（） A,充要条件B.必要不充分条件 C,充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 思路在等比数列中，数列的增减受到％的符号，与0的影响。所以在考虑反例时可从这两 点入手。将条件转为命题“若q 1,则数列｛。｝是递增数列”，如果％ 0,则｛。｝是递减数列，所以命题不成立；再看若数列｛q,｝是递增数列，则01 ”，同理，如果％ 0,则要求 gcO,l,所以命题也不成立。综上，“ q 1 ”是“数列｛a,｝是递增数列”的既不充分也不 必要条件 答案D 159 例8在等比数列｛福 中，若％ ，口2 88