2020高考数学最后突破抢分第1讲数系的扩充与复数的引入

复数、算法、推理与证明 第1讲 数系的扩充与复数的引入 r最新考纲 考向预测 1. 理解复数的基本概念. 2. 理解复数相等的充要条件. 3. 了解复数的代数表示及其几何意义. 4. 能进行复数代数形式的四则运算. 5. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 命题 趋势 本讲主要考查复数的基本概念（复数的实部、虚部、共饨复数、复 数的模等），复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运 算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减 法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、 填空题形式出现，难度为低档. 核心 素养 数学运算 y 理教财.夯实必备知识♦ 邕尴知识，佳）詹回顾 〔走进教材; _、知识梳理 1. 复数的有关概念 （1）复数的定义 形如a 8i（a, deR）的数叫做复数，其中实部是a,虚部是b . ⑵复数的分类 实数（空0）, 复数za8ia, 虚数（处0 ） 纯虚数（a三0 , b纹， 非纯虚数（a/0 ,为0 ）. 3复数相等 a b\ c doa c且 b d[a, b, c, de R. ⑷共辆复数 a 8i 与 c』共辘ca c且 b -, b, c, duR. ⑸复数的模 向量况的模叫做复数za b\的模,记作|z|或|a 8i|，即| |a Zi| 〃 /0 , a, ZGR. 2. 复数的几何意义 ⑴复数za8i二复平面内的点2aMa,晃R. 对应 ⑵复数za8ia, ZeR *平面向量宓. 3. 复数的运算 ⑴复数的加、减、乘、除运算法则 设21 a Zi , Z2- c dia , b , c, dR，则 ① 加法2i 2 a〃 cG aQ Zei ； ② 减法zi- z2 a bi - c cK a - c 8 -或； ③ 乘法zi-Z2 a Zi-c d ac- bd} ad i; zi a b\ a b\ c-of ac bd be - ad ④ 除法一 - -7T. ,„ _7 nic of/0. 互 c d\ cof c-of U o5 o-- 2 复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1,2 , Z3GC，有Z1 及及 Z1 ,Z1 Z2 Z3 21 互 得. 常用结论 1 ■三个易误点 ⑴两个虚数不能比较大小. 2 利用复数相等abi cd\列方程时，注意a M, c, 4WR的前提条件. 3 注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来，例如，若力， z2C , N N 0 ,就不能推出a 及0 ; N0在复数范围内有可能成立. 2.复数代数运算中常用的三个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. 1 i 1 - i lli2 2i ; -i ; - - i. 1 - I 1 I 2 - b a\ ia Zi. 3i4〃l , i4l i , i”2 - 1 i4〃3 - i , i4〃i4l i4〃 2 i4” 3 0 , 6N . 二、教材衍化 1Z 1 设复数Z满足厂3 i ,则10 . 解析l zil-0,zl i i-l, i -1 - 1 - i2 zi7] 2 匚所以园 IH L 答案1 2 .在复平面内，向量做t应的复数是2 i ,向量寸应的复数是-l-3i ,则向量瑟 对应的复数. 解析CACBBA -1 - 3i - 2 - i - 3 - 4i. 答案-3-4i 3 .若复数z甲-1 x- li为纯虚数，则实数x的值为. *-10, 解析因为N为纯虚数，所以所以X二-1. x-1/0 , 答案-1 走出误区； 一、思考辨析 判断正误正确的打V,错误的打X” 1 若,则系zo. ⑵已知za8iaMeR，当a0时，复数z为纯虚数. ⑶复数z a 8ia, 8WR中，虚部为 如 ⑷方程* x 1 0没有解. 5由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小,因而在复数范围内两个数也 能比较大小 答案lx 2x 3x ⑷x 5x 二、易错纠偏 常见误区| Kl对复数概念的理解有误； 2 复数的几何意义不清致误； 3 复数的运算方法不当致使出错； 4 z与；的不清致误. 1 .设/77WR,复数1*-1 /77顼表示纯虚数，则力的值为 A . 1B . - 1 m2 -1 0 ,\m 1 解析选A.由题意得解得， m1/0 ,-1. 所以01.故选A. 2 .在复平面内，复数6 5i , - 2 3i对应的点分别为/ , 8若C为线段48的中点， 则点。对应的复数是 A . 4 8iB . 8 2i C . 2 4iD . 4 i 解析选C.因为46 , 5 , 6 - 2 , 3,所以线段48的中点C[2,4，则点C对应的 复数为72 41故选2. 2 ai 3 .若a为实数，且；一 3 i,则3. 1 1 2 ai 解析由 3y3 i,得 2 ai 3 iQ i 2 4i ,即 ai 4i,因为 a 为实数，所 以 a4. 答案4 4 .已知l 2i z 4 3i ,贝［|z 4 3i 4 3i l-2i 10 - 5i l 2i l 2i l-2i5 解析因为 Z 一 . r _ -；-2 - i ,所以 z2 i. 答案2 i 0考点，合詹剖析 明考向J直击考例考生* 考点II 复数的有关概念自主练透 b 1 .设a,i是虚数单位，则此0是复数aj为纯虚数的 A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 b 解析选C.因为复数aa- b\为纯虚数，所以a 0且-缶0 ,即a0且 I b 所以ab0是复数a胡纯虚数的必要不充分条件，故选C. I