(高中试题课件）函数的单调性-2022届上海市高三上学期数学函数一轮复习讲义

授课类型 T C基础 T提高 授课日期及时段 函数的单调性 教学内容 函数的单调性 1 定义一般地，设函数y /x的定义域为/,如果对于定义域/内的某个区间D内的任意两个自变量 “,兀2，当Xl X2时，都有/1 7-2 X/X1 7-2那么就说/X在区间D上是增函数减函数，且 D为y /x的单调区间. /.、 【注意】\ ① 函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是定义域的某个子区间，也可以是整个定义域，如果函数 在整个定义域上单调，则它在子区间上也是单调的； ② 如果函数的图像不是连续的，讨论单调性需分段讨论，在整个定义域上是否单调要根据单调性的 定义来分析； ③ 函数的单调性是函数局部的性质，在对函数图像的一部分进行研究时，经常用到； ④ 定义法是判断函数单调性的最基本方法，特别是在一些非初等函数中. 2 复合函数单调性特点同増异减 3 利用定义证明函数/W在给定的区间D上的单调性的一般步骤 【步骤】 ① 任取 , X2 G D ,且 X2 ② 作差/孔-/勺偶有做商比较大小的 ★③变形通常是通分、因式分解和配方 ④ 定号即判断差/-/X2 的正负 ⑤ 下结论即指出函数/X在给定的区间D上的单调性 『【注j 的图彳 / 【提醒】\ 函数的周期性往往和奇偶性、单调性以及函数的图像及解析式相关联出现，现在大多数都是以1 i抽象函数的形式出现，涉及到的题型有求解析式、求值、求不等式解集、求单调区间、求参数的i i值等等.i ii i【特别提醒】1 求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“U”和“或”； i 三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示. 考点一判断单调性的方法 1、已知函数/x 2x -的定义域为0,21.证明当8时，函数y /x在定义域上是减函数; 【参考答案】 证明 x2,x1x2 g0,2], /兀1一/兀2”22小2_ , 西兀2 因为 X] x2,xt,x2 e 0,2],所以 x1-x2 0, 2xvx2 8a, 2xtx2 - a0 , 0, fx2,所以/x是减函数. 2、偶函数/x, xwR满足，对任意 e [0,oox2,有 _ 0,则 兀_兀2 A- /-2/l/ ⑶B. /l/-2/ ⑶ C- /⑶ /2/lD. /⑶ /l/2选 C 1、求下列函数的单调递减区间求值域 1 y J-兀 2兀 8 解⑴［-1,2］； 考点二求单调区间 2 /x log052-2-3 ⑵3,8 4 j |3x-5| z 5、 ⑷-8, 2、作出函数/x| x2-l|x的图像，并根据函数图像写出函数的单调区间. 【参考答案】 解当 xlx-1 时, 当一 1 兀 1时, -x2 x l -x-|2| ,1],才 1][1, ], [1, 00 由函数图像可以知道函数减区间为2,函数增区间为 2 3、设丁 /兀是7上的减函数，贝卄/低3|加单调减区间为[3,oo 考点三抽象函数、分段函数的单调性 ,、〔3a-lx 4a,xV1 例1、已知函数/ V 7是7上的减函数，求实数a的取值范围. 【参考答案】 3a-l0 解｛ 0al [log。X,X1 Qa又3a-1 4alog, 1 n a ,所以一Va. 3773 例2.设/x是定义在R上的函数，对m,nR恒有fm ri /m-/n,且当x0时，0/xl. 1 求证/0 1 ； 2 证明xwR时恒有/x0； 3 求证/力在上是减函数； 4 若 / - /2 1 ,求X 的范围. 10.1 m 0,n |,则 /| 0 /|-/0,因为 /|0 所以 /0 1 2设x0则一x0,由条件可知/一兀0 又因为 1 /0 /x-x /x - f-x 0,所以 / 0 , ；.X w R 时，恒有 fx 0 3设西 兀2，贝0 /O1- fx2 fg- f{x2-xr xj /- fx2- XiyxJ /O1[1 - fx2 - xj] 因为召兀2，所以X2-Xl0,所以/x2 -Xj 1 ,即1 一于2 -兀1〉0 又因为/兀10,所以/x1[l-/x2-x1]0 所以/x1-/x20,即该函数在R上是减函数. 4因为 fx-f2 xl,所以 / - /2 f2x 2 /0 所以2兀 20,所以妙勺范围为兀-1 考点四单调性的作用 1、己知函数 / X2 0； x 1讨论函数力的奇偶性，并说明理由 ⑵若/X在xw［2,oo上是增函数，求z的取值范围；a 16 2伙若函数/x 2 2-lx 2在区间-oo,4］上是减函数，那么实数a的取值范围是 解a -3 3、函数/x lgx2 ax 1在区间1,00上单调增函数，则a的取值范围是. 【参考答案】 解令 fx lgwx, ux x2 -xv-l0,由 fxlgux单调递增， ⑴no 故ux x2 -ax-l0, xe 1, oo且“兀在1,go上单调递增，贝U aa0 1 〔2 考点五综合提升 /1如果定义在7上的函数/兀满足对于任意西工*2，都有x1/x1x2/x1/x2 x2/x1,贝9称 ①y x l；②y Fi；③y e*l； y 数”的序号是一 【答案】①③. 以选①③. 【点评】考察函数单调性的等价定义. 2、设/x是定义在7上的以2为周期的偶函数，在区间［0,1］上单调递减，且满足/兀1,/2兀2,贝I］不等 式组］的解集为 ［1心2 【答案】［兀2,8 2刃 【解析】因为/是定义在7上的以2为周期的偶函数，在区间［0,1］上单调递减， 所以在卜1,0］上单调递增，