含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题

含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种 一、按项的系数的符号分类，即; 例1 解不等式 分析本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项 系数进行分类探讨。 解∵ 解得方程 两根 ∴当时,解集为 当时，不等式为,解集为 当时, 解集为 例2 解不等式 分析 因为，，所以我们只要探讨二次项系数的正负。 解 当时，解集为；当时，解集为 变式解关于的不等式 1、； 3、ax2－a＋1x＋10a∈R 二、按判别式的符号分类，即； 例3 解不等式 分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的状况。 解∵ ∴当即时，解集为； 当即Δ＝0时，解集为； 当或即,此时两根分别为，，明显, ∴不等式的解集为 例4 解不等式 解 因 所以当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为R。 变式解关于的不等式 三、按方程的根的大小来分类，即； 例5 解不等式 分析此不等式可以分解为，故对应的方程必有两解。本题 只需探讨两根的大小即可。 解原不等式可化为，令，可得 ∴当或时， ，故原不等式的解集为； 当或时，,可得其解集为； 当或时, ,解集为。 例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小. 解 原不等式可化为，对应方程的两根为 ，当时，即，解集为；当时，即，解集为 7、若关于x的不等式2x－12＜ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围。（ 【解析】 不等式可化为4－ax2－4x＋1＜0 ①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以，解得0＜a＜4，故由①得，又，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以3＜≤4，解得＜a≤ 一题多解专题一一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的两种解法 1分别参数法.把所求参数与自变量分别,转化为求详细函数的最值问题. 2不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解. 例1. 设函数，对于满意1x4的一切x值，都有fx0，求实数a的 取值范围. 【解析】法一当a0时，，由x∈1,4，fx0得 或或 所以或或，所以或，即。 当a0时，，解得a∈; 当a0时，, f10,f4-6,∴不合题意. 综上可得，实数a的取值范围是。 . 法二由fx0, 即,x∈1,4， 则有在1，4上恒成立. 令， ， 所以要使fx0在1,4上恒成立，只要即可. 故a的取值范围为. 2.已知函数在区间－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,2]上单调 递减，且b≥0. 1求fx的表达式； 2设0m≤2，若对随意的x1、x2∈[m－2，m]不等式|fx1－fx2|≤16m恒成立，求实 数m的最小值． 解析 1由题意知x＝－2是该函数的一个极值点. ∵f′x＝3x2＋2bx＋c，∴f′－2＝0，即12－4b＋c＝0. 又fx在[－2,2]上单调递减， ∴f′x＝3x2＋2bx＋c在[－2,2]上恒有f′x≤0. ∴f′2≤0，即12＋4b＋c≤0. ∴12＋4b＋4b－12≤0. ∴b≤0，又b≥0，∴b＝0，c＝－12，fx＝x3－12x＋1. 2∵f′x＝3x2－12＝3x－2x＋2． 0m≤2，而当m－2≤x≤m时，0m≤x＋2m＋2，m－4≤x－2≤m－2≤0， ∴f′x≤0，x∈[m－2，m]. 因此fx为[m－2，m]上的减函数， ∴对随意x1，x2∈[m－2，m]都有|fx1－fx2|≤fxmax－fxmin＝fm－2－fm ＝－6m2＋12m＋16≤16m， ∴m≥，即mmin＝. 4