《函数的最值及其几何意义》进阶练习（一）

函数的最值及其几何意义进阶练习 一、选择题 设 Mx|x24x0},则函数 f x -x2-6xl 的最值情况是 A. 最小值是1,最大值是9 最小值是T,最大值是10 B. 最小值是1,最大值是10 最小值是2,最大值是9 a./x4 1. 下列函数中，在其定义域内既是减函数又是奇函数为 B. fxyFx c /x 2--2xD /x-tanx 2. 设函数f x ，I ,给出下列两个命题 ① 存在 XoU 1, 8,使得 f xo 2； ② 若 f a f b ab,贝| ab4. 其中判断正确的是 A. ①真，②真 B.①真，②假 C.①假，②真 D.①假，②假 二、填空题 3. 已知m, n为正数，实数X, y满足 川 ,〃 30/ 十若xy的最 大值为27,则mn . 三、解答题 4. 定义在R上的函数f x满足对任意x, yGR都有f xy f x f y.且x0 时，f x 0, f -1 -2 1 求证f x为奇函数； 2 试问f x在xG[-4, 4]上是否有最值若有，求出最值；若无，说明理由. 3 若f k・3、f 3x-9x-2 0对任意xGR恒成立，求实数k的取值范围. 参考答案 1.C2. C3. C 4. 54 5. 解1证明f xy f x f y x, yWR,① 令 xyO,代入①式，得 f 00f 0 f 0,即 f 0 0. 令 y二-x,代入①式，得 f x-x f x f -x,又 f 0二0, 则有 0二f x f -x. 即f -X-f x对任意x€R成立， 则f x是奇函数. 2 解设 Xi, X2ER,且 X1VX2,则 xi-x20,从而 f xix2 0, 又 fXi -fX2 fXi f -X2 f [Xi -X2 ]fX1-X2. 「f xi -f x2 0,即 f xi f x2. ・・・函数f x为R上的增函数， ..当xe[-4, 4]时，f x必为增函数. 又由 f T -2,得f 1-2,1 2 .当 X-4 时，fXminf -4 -f 4 -4f 1 -8； 当 X4 时，fXmax二f 4 4f 1 8. 3 法一解由2 f x在R上是增函数，又由1 f x是奇函数. f k・3、-f 3x-9x-2二f -3、92, 即k・3、V-3、92, 即32x- 1k ・32〉0对任意xeR成立. 令t3x0,问题等价于f- 1k t20对任意t0恒成立. 令 g t t2- 1k t2, g t在0, 8上单调递增， f 0 20,符合题意； J 守〉。 lk1, L 当-0,即 k-l 时，I △ 】 -4x20, ..一1赤 -1 2框， 综上所述，当k-12方时， f k3x f 3-9-2 0 对任意 xeR 恒成立. 法二分离系数由k3x-3x9x2得， 9 kV1■矛 T, 2 则u3*矛-12防-1, 2 当且仅当3』计，艮P3JV巨时，等号成立 故 k2V/2-l. 1. 解由题意知 M x | x，4xWO} x | -4WxW0}, f x -xz-6xl- x3 210, 又.-4WxW0, 函数f x在区间［-4, -3］上是增函数，在区间-3, 0］上是增函 数， ..当x-3时，函数的最大值f -3 10； 当x0时，函数的最小值f 0 1, .I函数f x的值域是［1, 10］. 故选C. 利用二次不等式求出集合M,然后通过配方法将解析式进行化简后，求出对称轴x-3, 则由开口向下得到在定义域上的单调性，再求出函数的最值，即求出函数的值域. 本题考查了求二次函数在定区间上的值域，一般用配方法对解析式化简求出图象的对称 轴，由根据二次函数的性质判断出在定义域上的单调性，再求出函数的最值，即求出函 数的值域. 2. 试题分析A. J X x 在1工，0商山0,-工|都是单调递减的，但不能说在定义域内 是单调递减的； B. 定义域为以，0］,所以是非奇非偶函数； C. 因为在R上单调递减，2在R上单调递减，所以，x 2 一2 在R 上单调递减。又尸32、-2’/工， 所以为奇函数； D. /x-tanx在每个单调区间上都是单调递减的，但不能说在定义域内是单调递减的。 考点函数的单调性；函数的奇偶性。 点评此题是易错题，很多同学易错选A和D。我们一定要注意这种说法在每个单调 区间上都是单调递减的，但在定义域内不是单调递减的。 3. 解①xe 1, 8, f x X X-l l ,r 1/ T 1 yjx 1 H I VX 1 X /r-l \x - 1xA7- 1 2 工_2,等号当且仅当 寸工 一 1 -/ 寸2■一 1 ,即x2时成立， 故存在xE 1, 8,使得f xo V2不正确； ②由①的判断知，f a f b 2时，此时有ab2,使得ab4,当aTb时，必有 ab4,故②正确 综上判断知，①假，②真 故选C. 工 工 一 1 1/r ,1 由题意，可将函数变形为fX人工_\心_\什- 1 ,利用基本不 等式得出函数的最小值为2,从而判断出两个命题的真假. 本题考查命题的真假判断及利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值或判断不等 关系是否成立时要注意等号成立的条件. 4. 占工 V 解由题意， 〃 〃一3, 1 1国时 则 2\丘 ”」， ].3, x y rn n x/2x y 2 5 ti- 工 V m n . \/工 m n .2 则由 2事2可得, 令 xy二u, 则上式可化为 u2-9u-9 mn 0, 又.uxy的最大值为27可知， 27 是方程 u-9u-9 mn 0 的解, 即 27X27-9X27-9 mn 0,