《函数的概念及其表示第三课时》示范课教学设计【高中数学人教版】

函数的概念及其表示第三课时 教学设计 ♦教学目标 1. 了解函数常见的三种表示法解析法、列表法和图象法；对比这三种表示法，了解 它们各自的特点；能从不同角度全面理解y/x”中f的意义. 2. 理解分段函数的概念及表示，通过函数的不同表示法的转化和综合使用，加强数形 结合观念，提升学生的直观想象素养. 3. 通过对max Ax, gx｝这种符号化表示的理解，提升学生的数学抽象素养. ♦教学重难点 教学重点了解函数常见的三种表示法及其综合应用. 教学难点理解分段函数的概念及表示. ♦课前准备 PPT课件. ♦教学过程 一、复习引入 问题1你能说说函数有哪些表示法吗它们各自的特点又是什么 师生活动学生结合初中学习经验以及第一课时4个问题一般能回答出三种表示法，但 是对各自的特点可能感受不深，叙述不准确，老师借机给出新的例题，导入新课. 预设的答案我们已经接触过的函数的三种表示法解析法、列表法和图象法. 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如3. 1. 1的问题1、2. 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3. 1. 1的问题4. 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3. 1.1的问题3. 设计意图梳理已有知识经验，使学生感受学习函数表示法的必要性. 引语解析法、列表法和图象法各有特点，而且有的函数只能采取某种表示法，本节课 我们专门讨论函数的表示法.（板书函数的表示法） 二、新知探究 1. 感知对比，归纳概括 例1某种笔记本的单价是5元，买x （xG （1, 2, 3, 4, 5））个笔记本需要；y元.试 用函数的三种表示法表示函数y/W . 师生活动学生独立完成本题，可能暴露的问题定义域疏漏导致将离散的点连成直线, 老师针对问题讲解并引导学生思考三种表示方法的特点. 预设的答案 解这个函数的定义域是数集{1, 2, 3, 4, 5}. 用解析法可将函数y/（x）表示为j5x, xe {1, 2, 3, 4, 5}. 用列表法可将函数yf（x）表示为 笔记本数X 1 2 3 4 5 钱数〉 5 10 15 20 25 用图象法可将函数yf（x）表示为图1. y 25 - 20 - 15 - 10 - 追问1你能说说这个函数与正比例函数y5x, xeR的异同吗（解析式相同，定义 域、值域都不同，从图象上看，这个函数的图象是由5个离散的点构成的，正比例函数的图 象是一条连续的直线.） 追问2比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么 （解析法有两个优点一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析 式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；图象法的优点是直观形象地表示随着自变量的 变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质；列表法的优点就是不需 要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.） 追问3所有函数都能用解析法表示吗列表法与图象法呢请你举出实例加以说 明.（不是所有的函数都能用这三种方法表示，有的函数只能采取某一种表示法.比如课本 3. 1. 1的问题3中的函数只能用图象法表示，不能用解析法和列表法表示；再比如课本第75 1, X6Q, 页给出的狄利克雷函数关0厂八不能用图象法表示.） 10, xCrQ. 设计意图介绍了一个可以用三种方法表示的函数.通过这个例子，让学生体会三种表 示方法各自的特点. 2. 结合实例，理解分段函数的概念 例2画出函数y|x|的图象. 师生活动老师通过设问，引导学生将新问题转化为熟悉的旧问题，具体而言即将含绝 对值的问题转化为不含绝对值的问题.学生在画图时可能忽略定义域，导致错误，教师要及 时指出，并示范这道题的画图步骤，讲解分段函数的概念. 追问1 y|x|不属于之前学过的任何一类函数，你能将解析式变形，化为不含绝对值 的形式吗（根据绝对值的定义，分类讨论当x0时，y |x| x；当xNO时，y|x| x.） 追问2如何画y|x|的图象（在同一直角坐标系中分别画出yx, x0和yx, xNO的图象，则y|x|的图象就是这两部分图象的组合.） 追问3函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.那么判断 一个图形是不是函数图象的依据是什么（任意与x轴垂直的直线与图象至多一个交点.） 预设的答案 \x,尤0, 解由绝对值的概念，我们有y 、 Lx, xNO. 所以，函数y|x|的图象如图2所示. x, x0, 教师点拨像例2中、、 这样的函数称为分段函数. 分段函数的特点在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同. 追问4你能举出生活中可以用分段函数描述的实际问题吗如出租车的计费、天然 气的计费、银行的利率等. 设计意图前3个追问引导学生分析问题，培养学生通过将新问题转化为旧问题，进而 分析问题、解决问题的能力.追问4以实例的方式帮助学生理解分段函数的概念与表示. 例 3 给定函数/.r .r 1, gx xl2, xGR, 1 在同一直角坐标系中画出函数fx, gx的图象； 2 VxER,用 Mx表示/x, gx中的较大者，记为 Mx max侦X, g.r}. 例如，当 x2 时,M2max/2, g2}max{3, 9} 9. 请分别用图象法和解析法表示函数Mix. 师生活动第1问学生独立完成.第2问比较抽象，在完成第1问之后，老 师通过问题引导学生完成. 追问1如图3,你能说说/x gx对应图象上的什么特征吗当自变量x的取值 相同时，函数fx对应的点比函数gx对应的点高. 追问2你能从图象上观察并回答Mx的取值情况吗当1时，gx xl2 的图象位于fxx1的上方,gx xl2为较大者，此时Mx x12；当一1X 0时，fx xl的图象位于gx x12的上方，f.x xl为较大者，此时M.r x1；当x0时，gx xl2的图象位于f.x .r1的上方，gx xl2为较大者， 此时 M.r x12；当 X 1 或x0 时，g,r x12 的图象与 fx x1 相交，八t 与 g x相等，M ,r /.r g x. 追问3你能用代数方法求出Mx的表达式吗令/xgx,即xlxl2, 解得一lx0；令 g.r /.r，即xl2xl,解得x 1 或,r0；令fix gx, xl2, xW 1, 即 xl .r12