平面向量数量积的教学设计及反思

平面向量数量积的教学设计及反思 ■■ 教学目的 1. 了解平面向量数量积的物理背景及其物理意义； 2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 3. 理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和 运算； 教学重难点 重点1.早面向量数量数量积的概念和性质 2. 平面向量数量数量积的运算律的探究和应用 难点平面向量数量数量积的定义及对运算律的探究 平面向量数量数量积的应用 课时安排 2课时 教学过程 一.导入 一个物体在力F的作用下产生位移”那么力F所做的功W |中|cos们 即功的大小是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积。7是力的大小，是数量 也就是物理上的标量，同是位移的大小是标量，cos。是力与位移夹角的余弦 值，也是标量，所以W是一个标量，它是由力和位移这两个向量决定的。这 给我们一个启示功是否是两个向量的某种运算的结果呢 1. 新授 1. 平面向量数量积内积的定义己知两个非零向量刁与片，它们的夹角是, 则数量\ a \ \ b \ cos0叫刁与5的数量积内积，记作a b ,即刁・5 lall Icose,o,前面所说的功就是力与位移的数量积。并规定0与 任何向量的数量积为a 注意1七 不能省略，也不能用板’代替。 2 0・s o,而不是。・日0。 2. 牛刀小试例1.己知1315, lfel4, 1 与片的夹角是60 ； 2 a 与5的夹角是120 ； 3。与5垂直；4 2与5平行，求命段 解1 a-blallblcos60 10 2 51311 Icosl20 -10 3 5-ftl5ll/lcos90 0 4 j与5同向时a-b\a\\b\cos0 20 Z与5 反向 a- b \a\\b Icosl80 -20 3. 投影（也叫射影）的概念及数量积的儿何意义 由数量积定义万S 15116 ICOS0可知影响数量积大小的因素有III, \b I, COS0, 投影的定义我们把3 I cos。（ |。| cos。）叫做向量片在。方向上（。在片 方向上）的投影，记做0Bi | b | cos。 方在3方向上的投影 （投影的几何图形） （1）投影I力I COS。是一个数量，不是向量。W FfcosP,就是力F在 耳方向上的投影F cos。对物体做功。 （2）当。为锐角时，投影为正值，数量积为正值; 当0为钝角时，投影为负值，数量积为负值; 当0为直角时，投影为0,数量积为0； 当。二0。时，9与片同向时，投影为|5|, a-h ab 当0 180。肘，9与5反向时，投影为a-b ab 可见数星积a -b的几何意义向量反与Z的数量积反・Z等于反的长度同与 5在刁的方向上的投影5 cos。的积. 请判断 角9的范围 0 W6K90。 090 0 OW180 a b的符号 0 即数量积的符号由cos〃的符号决定，即由两向量的夹角决定。 4 .归纳数量积的性质 1 a-Lba-bQ （力垂直与物体移动方向时，力对物体不做功） 1 当与b同向时,a-b\a\\b\,（此时耻 最大,力对物体做功最大）; 当S与5反向时,a-b\a\\b\,此 时反S最小,力对物体做功最小）。 特别地a-a\a\2 1 \ab\\a\-\b 下面考察向量数量积的运算律数量积是向量间的一个新的运算，自然要对 它的运算律进行讨论，看它的运算律与实数的运算律有什么联系 设M,c,2是任意实数,a.h,c是任意向量 实数的运算律向量数量积的运算律 ab ba a-b b -a 2ab2ab a-Aba b-c a -c b -c ■cib aAb ci bc cic be 证明第三个即交换律成立 dB （即。为）方向上的投影等于瓦凭在万方向上的投影和, \ ab | cosO | a | cosO | / | cosO2 a b cos0 c a cosO〔 COS02, / c ah c -a c -b 注意 （1）在实数中，满足结合律30c ,向量运算有吗 没有即0・5）C主）・（段・。这是因为两个向量数量积结果是一-个实数, 左端是与共线的向量，而右端是与A共线的向量，而i般U与 不共线.数量积运算不满足结合律。 （2）在实数运算中，若猝0,且a30,则加0, 在数量积中,若履打,且，Eo,能推出6 不能因为可能ci lb , cos。为0. 5b-0 3已知实数 a、b、ctoO,则 abbc ac. 但是若ft 6,且a石则s a吗 如图爵|可网cos0 K||Q4 b -c |/||c| cos a b \OA a-b b -c 但质 Ac 1. 例题精析 例2对任意向量Z,方是否有以下结论 （1）（a b）2a22a bb2 （2）） （ab） a2萨解题过程参见课本 例3已知|。|二6 , | Z | 4, a b的夹角为60 ，求 （；2片）（旗3方）。解题过程参见课本 例4已知| Z | 3, 3 | 4,且打与5不共线危为何值时，向量Uk 与a-\h互相垂直 分析两向量相互垂直时，它们的数量积为0. 解题过程参见课本 1. 小结 （1）本节课主要学习了向量的数量积和投影； （2）类比功，得到了向量的重要性质； （3）类比实属运算律，得到了向量数量积的运算律，但注意，有 些实数具备的运算律，向量的数量积却不具备。 1. 作业 反思数量积在几何证明中有重要的应用，特别是 |祥， 看着很平常，但有很重要的作用。比如今年陕西高考题中的 余弦定理的证明，实际就是这些性质的应用。这些性质应要 求学生熟练掌握。