3.3.2 函数的极值与导数

3.3.2 函数的极值与导数 一、选择题 1.若fx是R上的可导函数,则下列结论中,正确的是 A.导数为零的点肯定是极值点 B.假如在x0旁边的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极大值 C.假如在x0旁边的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是微小值 D.假如在x0旁边的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极大值[来源学|科|网] 答案B 解析依据极值的概念,左侧fx0,单调递增;右侧fx0,单调递减,fx0为极大值. 2.函数yx3-3x2-9x-2x2的极值状况是 A.极大值为5,微小值为-27 B.极大值为5,微小值为-11 C.极大值为5,无微小值 D.微小值为-27,无极大值 答案C 解析y3x2-6x-93x1x-3, 令y0,得x-1或x3. 当-2x-1时,y0; 当-1x2时,y0. 所以当x-1时,函数有极大值,且极大值为5;无微小值. 3.函数fxax3x1有极值的充要条件是 A.a≥0B.a0[来源Zxxk.Com] C.a≤0D.a0 答案D 解析fx3ax21. ①a≥0时,fx≥0恒成立,fx在R上递增,无极值; ②a0时,令fx0,解得x. 可推断知x-时,fx取微小值; x时,fx取极大值. 故a0. 4.设函数fx在R上可导,其导函数为fx,且函数fx在x-2处取得微小值,则函数yxfx的图象可能是 答案C 解析由题意可得f-20,而且当x∈-∞,-2时,fx0,此时xfx0;当x∈-2,∞时,fx0,此时若x∈-2,0,xfx0,若x∈0,∞,xfx0,所以函数yxfx的图象可能是C. 5.已知函数fx2x3ax236x-24在x2处有极值,则该函数的一个递增区间是 A.2,3B.3,∞ C.2,∞D.-∞,3 答案B 解析因为函数fx2x3ax236x-24在x2处有极值,所以有f20,而fx6x22ax36,代入得a-15.现令fx0,解得x3或x2,所以函数的一个增区间是3,∞. 二、填空题 6.若函数y-x36x2m的极大值为13,则实数m等于 . 答案-19 解析y-3x212x-3xx-4. 由y0,得x0或4. 且x∈-∞,0∪4,∞时,y0; x∈0,4时,y0. ∴x4时取到极大值. 故-6496m13,解得m-19. 7.若函数yx2x在xx0时取微小值,则x0 . 答案- 解析令y2xx2xln22x1xln20,得x-. ∴当x-时,y0,函数递增; 当x-时,y0,函数递减. ∴x-时取微小值. 8.已知函数fxax3bx2cx,其导函数yfx的图象经过点1,0,2,0.如图,则下列说法中不正确的是 .填序号 ①当x时,函数取得微小值; ②fx有两个极值点; ③当x2时函数取得微小值; ④当x1时函数取得极大值. 答案① 解析由图象可知,x1,2是函数的两极值点,∴②正确; 又x∈-∞,1∪2,∞时,y0; x∈1,2时,y0,∴x1是极大值点,x2是微小值点,故③④正确. 三、解答题 9.设a为实数,函数fxex-2x2a,x∈R,求fx的单调区间与极值. 解由fxex-2x2a,x∈R知fxex-2,x∈R.[来源1ZXXK] 令fx0,得xln2. 于是当x改变时,fx,fx的改变状况如下表 x -∞,ln2 ln2 ln2,∞ fx - 0[来源学科网ZXXK] fx 单调递减↘ 21-ln2a 单调递增↗ 故fx的单调递减区间是-∞,ln2, 单调递增区间是ln2,∞;且fx在xln2处取得微小值. 微小值为fln2eln2-2ln22a21-ln2a,无极大值. 10.已知函数fxx2bln x和gx的图象在x4处的切线相互平行. 1求b的值; 2求fx的极值. 解1对两个函数分别求导,得fx2x, gx. 依题意,有f4g4, 即86,∴b-8. 2明显fx的定义域为0,∞.[来源1ZXXK] 由1知b-8, ∴fx2x-. 令fx0,解得x2或x-2舍去. ∴当0 x2时,fx0,当x2时,fx0. ∴fx在0,2上是单调递减函数,在2,∞上是单调递增函数.∴fx在x2时取得微小值,且微小值为f24-8ln2.