概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案(全).doc

1 1 概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1．略.见教材习题参考答案. 2.设 A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件 （1） A 发生，B，C 都不发生； （2） A 与 B 发生，C 不发生； （3） A，B，C 都发生； （4） A，B，C 至少有一个发生； （5） A，B，C 都不发生； （6） A，B，C 不都发生； （7） A，B，C 至多有 2个发生； （8） A，B，C 至少有 2个发生. 【解】 （1） A （2） AB （3） ABC BC C （4） A∪B∪C C∪ B ∪A ∪ BC∪A C∪AB ∪ABC AB A C BC A B C ABC 5 6 ABC A B C   ABC 7 BC∪A C∪AB ∪ C∪A ∪ B ∪ ∪ ∪ A B C AB BC A C ABC ABC A B C 8 AB∪BC∪CAAB ∪A C∪ BC∪ABC C B A 3.略.见教材习题参考答案 4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）0.7,PA B0.3，求 P（ ）. AB 【解】 P（ ）1P（AB）1[PA PA B] AB 1[0.70.3]0.6 5.设 A，B 是两事件，且 P（A）0.6,PB0.7,求 （1） 在什么条件下 P（AB）取到最大值 （2） 在什么条件下 P（AB）取到最小值 【解】 （1） 当 ABA 时，P（AB）取到最大值为 0.6. （2） 当 A∪BΩ 时，P（AB）取到最小值为 0.3. 6.设 A，B，C 为三事件，且 P（A）P（B）1/4，P（C）1/3 且 P（AB）P（BC） 0，P（AC）1/12，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 P（A∪B∪C）PAPBPCPAB PBC PACPABC2  1 4 1 4 1 3 1 12 3 4 7.从 52张扑克牌中任意取出 13张，问有 5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概 率是多少 【解】 p 5 3 3 2 13 13 13 13 13 52 C C C C / C 8.对一个五人学习小组考虑生日问题 （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概 率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】 （1） 设 A 1 {五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为 7 5 ，有利事件仅 1个，故P（A 1 ） （ ） 5 （亦可用独立性求解，下同） 5 1 7 1 7 （2） 设 A 2 {五个人生日都不在星期日}，有利事件数为 6 5 ，故 P（A 2 ） 5 5 5 6 7 6 7 3 设 A 3 {五个人的生日不都在星期日} P（A 3 ）1PA 1 1 5 1 7 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n件（nN）.试求其中恰有 m 件 （m≤M）正品（记为 A）的概率.如果 （1） n件是同时取出的； （2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. 【解】 （1） P（A） C C / C m n m n M N M N   2 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有 种，n次抽取中有 m P n N 次为正品的组合数为 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从 M 件正 C m n 品中取 m 件的排列数有 种，从 N M 件次品中取 nm 件的排列数为 种， P m M P n m N M   故 P（A） C P P P m m n m n M N M n N   由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 P（A） C C C m n m M N M n N   可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有 N 种取法，故所有可能的取法总数为 N n 种，n3 次抽取中有 m 次为正品的组合数为 种，对于固定的一种正、次品的抽取次 C m n 序，m 次取得正品，都有 M 种取法，共有 M m 种取法，n m 次取得次品，每次 都有 NM 种取法，共有（N M） nm 种取法，故 C / m m n m n n P A M N M N    此题也可用贝努里概型，共做了 n重贝努里试验，每次取得正品的概率为 ，则取 M N 得 m 件正品的概率为 C 1 m n m m n M M P A N N                11.略.见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在 10个部件上，其中有 3个铆钉强度太弱.每个部件用 3只铆 钉.若将 3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个 部件强度太弱的概率是多少 【解】设 A{发生一个部件强度太弱} 1 3 3 10 3 50 1 C C / C 1960 P A   13.一个袋内装有大小相同的 7个球，其中 4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取 3个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设 A i {恰有 i 个白球}（i2,3） ，显然 A 2 与 A 3 互斥. 2 1 3 4 3 4 2 3 3 3 7 7 C C C 18 4 , C 35 C 35 P A P A     故 2 3 2 3 22 35 P A A P A P A     14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8和 0.7，在两批种子中各随机取一粒，求 （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设 A i {第 i 批种子中的一粒发芽}， （i1,2） 1 1 2 1 2 0.7 0.8 0.56 P A A P A P A     2 1 2 0.7 0.8 0.7 0.8 0.94 P A A       3 2 1 1 2 0.8 0.3 0.2 0.7 0.38 P A A A A       15.掷一枚均匀硬币直到出现 3次正面才停止. （1） 问正好在第 6次停止的概率； （2） 问正好在第 6次停止的情况下，第 5次也是出现正面的概率. 【解】 （1） 2 2 2 3 1 5 1 1 1 5 2 2 2 32 p C   1 3 4 2 1 1 1 C 2 2 2 4 5/ 32 5 p  