初一数学第15讲：角的概念及计算教案

角的概念及计算角的概念及计算 适用学科适用学科 适用区域适用区域 知识点知识点 初中数学 通用 1、角的计算2、余角、补角 3、方位角 1、掌握角的两种定义形式和表示方法． 适用年级适用年级 课时时长（分钟）课时时长（分钟） 初中一年级 120 教学目标教学目标 教学重点教学重点 教学难点教学难点 2、认识度、分、秒，会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算． 3、在具体情境中了解余角与补角．懂得等角的余角相等，等角的补角相等． 认识度、分、秒，会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算． 角的计算综合题解答 教学过程教学过程 一、课堂导入一、课堂导入 问题：问题：观察时钟的两个指针及其它图形涂红色的部分所形成的图形，思考有什么共同的特点。 二、复习预习二、复习预习 直线直线 射线射线线段线段 的表示的表示 （1） 直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线 l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线 AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线 l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线 OA．注 意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或 线段 BA） ． （2） 点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外. 三、知识讲解三、知识讲解 考点考点 1 1 角角 （1）角的定义角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶 点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个 希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角， 当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1 度=60 分，即 1°=60′，1 分=60 秒，即 1′=60″． 考点考点 2 2 钟面角钟面角 （1）钟面一周平均分 60 格，相邻两格刻度之间的时间间隔是 1 分钟，时针 1 分钟走 112 格，分针 1 分钟走 1 格．钟 面上每一格的度数为 360°÷12=30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根 据表面上每一格 30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题分针：60 分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6° 时针：12 小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°． 考点考点 3 3 方向角方向角 （1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先 叙述北或南，再叙述偏东或偏西． （注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南． ） （3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 考点考点 4 4 角的计算角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB 是∠AOC 和∠BOC 的和， 记作： ∠AOB=∠AOC+∠BOC． ∠AOC 是∠AOB 和∠BOC 的差， 记作： ∠AOC=∠AOB- ∠BOC．②若射线 OC 是∠AOB 的三等分线，则∠AOB=3∠BOC 或∠BOC=13∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢 60 要进位， 相减时，要借 1 化 60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60 要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每 一次的余数化作下一级单位进一步去除． 考点考点 5 5 余角和补角余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于 90°（直角） ，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于 180°（平角） ，就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 四、例题精析四、例题精析 例例 1 1 【题干】【题干】上午 9 时 30 分，时钟的时针和分针所成的角为() A.90° B.100° C.105° D.120° 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解：时针每分钟旋转°，分针每分钟旋转 6°． =15°，分针共旋转 30×6°在 9 时，时针和分针相差 270°，时针在分针前，从 9 时到 9 时 30 分，时针共旋转 30× =180°，则在 9 时 30 分，时针在分针前 270°+15°-180°=105°． 故选 C． 例例 2 2 【题干】【题干】∠AOB=45°，∠BOC=75°，OD 平分∠AOB，OE 平分∠BOC，则∠DOE=() A.60° B.75° C.60°或 15° D.70°或 15° 【答案】【答案】C 【解析】【解析】此题要分两种情况①∠AOB 在∠BOC 内部，②① ∠AOB 在∠BOC 外部． 解：如图 1， ∵∠AOB=45°， ∴∠BOD=22.5°， ∵∠BOC=75°， ∴∠BOE=37.5°， ∴∠DOE=22.5°+37.5°=60°； 如图 2，∵∠AOB=45°， ∴∠BOD=22.5°， ∵∠BOC=75°， ∴∠BOE=37.5°， ∴∠DOE=37.5°-22.5°=15°． 故选：C． 例例 3 3 【题干】【题干】如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC 的平分线分别为 OE，OF，且∠EOF 是直角，你能说明 OA，OC 为什 么成一条直线吗？试试看吧! 【答案】【答案】解：∵OE、OF 分别平分∠AOB、∠BOC，且∠EOF 是直角， ∴∠AOE=∠BOE，∠COF=∠BOF，∠EOF=90°， ∴（∠AOE+∠EOB）+（∠COF+∠BOF）=2×90°=180°， 即∠AOB+∠BOC=180°， ∴∠AOC=180°， ∴AO、OC 成一直线（即 A，O，C 三点共线） ． 【解析】【解析】判断 OA，OC 是否成一条直线，只要求∠AOC，看是否是 180°． 例例 4 4 【题干】【题干】如图，A 岛在 B 岛的北偏东 30°方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80°方向，从 A 岛看 B、C 两岛的视角∠BAC=70°， 那么 A 岛在 C 岛的什么方向上？ 【答案】【答案】解：由题意可知∠DBC=80°，∠DBA=30°， ∴∠ABC=50°， ∵∠BAC=70°， ∴∠ACB=180°-50°-70°=60°， 又∵DB∥EC， ∴∠ECB=180°-∠DBC=100°， ∴∠