初二数学经典难题

实用文档 初二数学经典难题 1． （10 分）已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC 是正三角形． 考点： 专题： 分析： 解答： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。 证明题。 在正方形内做△DGC 与△ADP 全等，根据全等三角形的性质求出△PDG 为等边，三角形，根 据 SAS 证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可． 证明： ∵正方形 ABCD， ∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， ∵∠PAD=∠PDA=15°， ∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°， 在正方形内做△DGC 与△ADP 全等， ∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°， ∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°， ∴△PDG 为等边三角形（有一个角等于60 度的等腰三角形是等边三角形） ， ∴DP=DG=PG， ∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°， ∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC， 在△DGC 和△PGC 中 ， ∴△DGC≌△PGC， ∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°， 同理 PB=AB=DC=PC， ∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°， ∴△PBC 是正三角形． 点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点 的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了 较高的要求． 2． （10 分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F． 求证：∠DEN=∠F． 考点： 专题： 分析： 三角形中位线定理。 证明题。 连接 AC，作GN∥AD 交 AC 于 G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM= BC，根据AD=BC 证明 GM=GN， 可得∠GNM=∠GMN， 根据平行线性质可得： ∠GMF=∠F， ∠GNM=∠DEN 从而得出∠DEN= ∠F． 证明：连接 AC，作 GN∥AD 交 AC 于 G，连接 MG． ∵N 是 CD 的中点，且 NG∥AD， ∴NG= AD，G 是 AC 的中点， 又∴M 是 AB 的中点， ∴MG∥BC，且 MG= BC． ∵AD=BC， ∴NG=GM， △GNM 为等腰三角形， ∴∠GNM=∠GMN， ∵GM∥BF， ∴∠GMF=∠F， ∵GN∥AD， ∴∠GNM=∠DEN， ∴∠DEN=∠F． 解答： 点评： 3． （10 分）如图，分别以△ABC 的边 AC、BC 为一边，在△ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG，点 P 是 EF 的中点，求证： 点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半． 此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM 为等腰三角形． 2 考点： 专题： 分析： 梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。 证明题。 分别过 E，F，C，P 作 AB 的垂线，垂足依次为 R，S，T，Q，则 PQ= （ER+FS） ，易证 Rt△AER≌ Rt△CAT，则 ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证． 解：分别过 E，F，C，P 作 AB 的垂线，垂足依次为 R，S，T，Q，则 ER∥PQ∥FS， ∵P 是 EF 的中点，∴Q 为 RS 的中点， ∴PQ 为梯形 EFSR 的中位线， ∴PQ= （ER+FS） ， ∵AE=AC（正方形的边长相等） ，∠AER=∠CAT（同角的余角相等） ，∠R=∠ATC=90°， ∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS） ， 同理 Rt△BFS≌Rt△CBT， ∴ER=AT，FS=BT， ∴ER+FS=AT+BT=AB， ∴PQ= AB． 解答： 点评：此题综合考查了梯形中位线定理、 全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点， 辅助线的作法 很关键． 4． （10 分）设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB． 考点： 专题： 分析： 四点共圆；平行四边形的性质。 证明题。 根据已知作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，利用 AD∥EP，AD∥BC，进而得出 ∠ABP=∠ADP=∠AEP， 得出 AEBP 共圆，即可得出答案． 证明：作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，解答： 3 ∵AD∥EP，AD∥BC． ∴四边形 AEPD 是平行四边形，四边形PEBC 是平行四边形， ∴AE∥DP，BE∥PC， ∴∠ABP=∠ADP=∠AEP， 可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等） ． 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP， ∴∠PAB=∠PCB． 点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关 键． 5． （10 分）P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长． 考点： 专题： 分析： 正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。 综合题。 把△ABP 顺时针旋转 90°得到△BEC，根据勾股定理得到 PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明△ PEC 是直角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点C 作 CF⊥BE 于点 F，△CEF 是等腰直角三角形，然 后再根据勾股定理求出 BC 的长度，即可得到正方形的边长． 解：如图所示，把△ABP 顺时针旋转 90°得到△BEC， ∴△APB≌△CEB， ∴BE=PB=2a， 解答： ∴PE= 2 =2 2 a， 22 在△PEC 中，PC =PE +CE =9a ， ∴△PEC 是直角三角形， ∴∠PEC=90°， ∴∠BEC=45°+90°=135°， 过点 C 作 CF⊥BE 于点 F， 则△CEF 是等腰直角三角形， ∴CF=EF=CE=a， 在 Rt△BFC 中，BC= 即正方形的边长为 = a． =a， 4 点评：本题考查了正方形的性质， 旋转变化的性质， 等腰直角三角形的性质， 勾股定理以及逆定理的应用， 作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 6． （10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后， 改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t 分．求两根水管各自注水的速度． 考点：分式方程的应用。 分析：设小水管进水速度为 x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根 小水管向容器内注水， 水面高度达到容器高度一半后， 改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水． 向 容器中注满水的全过程共用时间t 分可列方程求解． 解答：解：设小水管进水速度为x 立方米/分，则大水管进水速度为4x 立方米/分．由题意得： 解之得： 经检验得：是原方程解． 立方米/分，大口径水管速度为立方米/分．∴小口径水管速度为 点评：本题考查理解题意的能力，设出