三角函数的最值与值域的教学设计

三角函数的最值与值域的教学设计（高三复习课） 安亭中学 彭 朴 一 、教学思想 三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一。三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高。在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以强化学生灵活运用三角公式，而且可以巩固求最值和值域的方法，增强综合分析和应用能力。 高三的复习课与新授课不一样，学生具备一定的相关知识和技能，但不够全面和系统，课前，编写好《助学提纲》，将知识系统化，条理化，课堂上，充分调动学生的积极性和主动性，以学生为主体，教师重在引导，以问题为驱动，组织学生交流自己的想法和做法，活跃课堂氛围，促进学生对三角函数的最值和值域的理解。 二、教学目标 1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； 2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。 三、教学重点分析 本节课的重点是求三角函数的最值与值域，为了突出和强调本节课的重点，课前布置了学生整理求函数值域与最值的方法，设计了一些知识检测题给学生训练。在上课之前，老师通过批改学生的作业，及时了解学生对三角函数的最值与值域的掌握程度。在上课时，首先让学生回顾求函数值域与最值的方法，然后交流作业，通过例题和习题的训练、讨论、分析、归类、方法总结，学生能比较系统掌握求三角函数的最值与值域的常用方法。 四、教学难点分析 求三角函数的最值与值域的方法多样，针对题目，如何在最短的时间内灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域检索方法，迅速解决问题是本节课的难点，为了突破难点，不妨采取“实践---总结方法——再实践”的策略，即在讲评作业和例题时，对每一道题目的特点进行分析，解完后，引导学生总结方法，找出规律，然后让学生动手训练，加深印象，化解难点。 五、教学技术与学习资源的应用 制作多媒体课件，精选近几年高考试题中有关对三角函数的最值与值域考查的试题，通过上网查资料，根据学生的认知结构，取长补短，精心设计，利用好备课组集体编写的《助学提纲》 六、教学过程设计 1提问：求函数最值与值域有哪些常用的方法？ 学生：换元法、配方法、借助基本不等式、借助函数的图像和单调性。 设计意图：从学生已有的知识出发，启发学生对方法进行迁移，不过需要提醒学生在用换元法时，要注意新变量的取值范围，在用不等式求最值时，要注意取等号的条件。 2反馈学生做知识检测题的情况 42?sinx?yx2??siny）函数①．在下列说法中：（；的最大值为3（21）函数 2sinx 1 11x?y],11,0)?(0[? ，使得 ；的值域是(4)存在实数4最小值是；（3）函数tanx+ tanxxcos （ ）=2成立．正确的是 4） D．（1）（）2）（4） C．（1（3））A．（1（2） B．（??2][,,x?y?sinx ②．函数）的值域为（ 361313]1[,],1[],[ D．C A． [－1，1] B．． 2222x2xcosy?sin2 ③．函数．，最小值为 的最大值为 ???x)x?)?sin(y?sin(x?__________ _________④．时，函数的最大值为 4421x?sinsinx?y? 的值域为⑤．函数 70?a?b?y?acosxb,a，则函）的最大值是为常数，且（⑥．函数1，最小值是xbcossinx?ay? 数的最大值是 通过道检测题难度不大，但涵盖了三角函数求最值和值域的一些基本方法，设计意图：这6为课堂上重点解决学生的薄弱点和盲点批改学生的作业，在课前充分了解学生的掌握程度， 做好准备。 3例题分析 1 求下列函数的最值例题??][0 x?,),x?y?cos(2 1）（ 26，用t本题可以利用函数的图象求最值 ，也可作代换，把括号内看作一个整体设计意图：课堂上，可以鼓励学的取值范围，前者画图不如后者简单，但后者一定要注意t单调性求， 生到黑板上画图分析，掌握换元法及其注意点。 ? ）（2 xcos?x)?y?3sin(型函xbcosasinx+设计意图：此题较第（1）题复杂，但不难，通过此题解决帮助学生总结y= 2222baa?b??cos= 数最值的求法：只要利用辅助角公式，转化为y）或= y+sin（x? （x+）求最值。22xx?6coscos5y?sin?x3sinx ）（322xcosxxcos?cay?sinx?bsin型函数求最值或值域，利用降次：此题属于设计意图1?cos2x1?cos2x122x?,sinxcosx?sin,cos2xxsin?即可转公化式为 222y=asinx+bcosx型函数求最值。设计此题可以帮助学生巩固降次公式、辅助角公式。 y?cos2x?cosx 4（） 2 型函数求最值或值域函数求最值或值y=acos2x+bcosx+c y=asin2x+bsinx+c或设计意图： 借助二倍角公式，结合换元法转化为二次函数在闭区间上求最值或值域，注意新的变量,域 的取值范围。)x?cos?sinx)(3y?(3 （5）sinx+cosx此题难度较大，不同于以上题型，感到无从下手，如果展开，注意到设计意图： 2??t?2的关系式，sinx±tcosx=t(sinxcosx转化为)，将与sinxcosx的关系，令 从而使问题转化为二次函数的最值问题，但要注意换元后变量的取值范围。?)?(0,4cotx,xy?tanx? 6）（ 2 ,需注意取等号的条件。此题可以利用基本不等式求最值设计意图：πππ???? 22sin?(x2?x?3cosxx?，)f2 ．， 例题???? 424????)(xf 的最大值和最小值；（1）求ππ?? m2m?x)?f(，?x ）若不等式的取值范围．上恒成立，求实数在（2?? 24??）问的解决需要用到降次公式和诱导公式，借助换元设计意图：此题是一道高考题，第（1的范围。此）问的解决需要用到第一问的结论，通过分离参数，求出m2法求出最值，第（有利于提三角函数最值的求法，学生通过训练，题综合考查了学生对三角公式的掌握情况， 高学生的综合分析能力和解决问题的能力。 七、巩固练习题：2xxf()?2cosx?sin2 的最小值是 。1．函数 ?2 ?xx?cossinx(fx)? ），的最小值是 2（．若 4 211?2?12??．1 D B A．． C．－