中考数学几何模型2：共顶点模型

中考数学几何模型中考数学几何模型 2 2：：共顶点模型共顶点模型 名师点睛名师点睛 拨开云雾拨开云雾开门见山开门见山 共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形 的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 两等边三角形两等腰直角三角形两任意等腰三角形 * *常见结论：常见结论： 连接 BD、AE 交于点 F，连接 CF，则有以下结论： （1）△BCD △ACE （2）AE  BD （3）AFB  DFE （4）FC平分BFE 典题探究典题探究 启迪思维启迪思维探究重点探究重点 例题例题 1 1. 以点 A 为顶点作等腰 Rt△ABC，等腰 Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图 1 所示放置，使 得一直角边重合，连接BD、CE． （1）试判断 BD、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长 BD 交 CE 于点 F 试求∠BFC 的度数； （3）把两个等腰直角三角形按如图2 放置， （1） 、 （2）中的结论是否仍成立？请说明理由． 梦想不会辜负每一个努力的人 变式练习变式练习 1. 已知：如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°． （1）求证：BD=AE． （2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形 ABED 的面积． 例题例题 2 2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF 分别有公共顶点 A，D，且△ADE，△DBF 都在 △ADB 内，求证：CD 与 EF 互相平分. 变式练习变式练习 2. 已如图，已知等边三角形ABC，在 AB 上取点 D，在 AC 上取点 E，使得 AD=AE，作等边三角形 PCD， QAE 和 RAB，求证：P、Q、R 是等边三角形的三个顶点． 梦想不会辜负每一个努力的人 例题例题 3. 3. 在等边△ABC 与等边△DCE 中，B，C，E 三点共线，连接 BD，AE 交于点 F，连接 CF. (1)如图 1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC； (2)如图 2，若△ABC，△DCE 为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立， 写出正确结论并证明. 例题例题 4. 4. 【问题探究】 （1）如图①已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为腰，在△ABC 的外部作等腰 Rt△ABD 和 Rt△ACE，连接 CD、BE，试猜想 CD、BE 的大小关系； （不必证明） 【深入探究】 （2）如图②△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，点D 在边 BC 上（不与 B、C 重合） ，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为； （不必证明） 线段 AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若 BD=9，CD=3，求 AD 的 长． 例题例题 5. 5. 如图 1，在△ABC 中，BC=4，以线段 AB 为边作△ABD，使得 AD=BD，连接 DC，再以 DC 为边作 △CDE，使得 DC=DE，∠CDE=∠ADB=α． （1）如图 2，当∠ABC=45°且 α=90°时，用等式表示线段AD，DE 之间的数量关系； （2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段EF，连接 BF，AF． ①若 α=90°，依题意补全图 3，求线段 AF 的长； ②请直接写出线段 AF 的长（用含 α 的式子表 梦想不会辜负每一个努力的人 示） ． 达标检测达标检测 领悟提升领悟提升强化落实强化落实 1. 1. 如图，在等边△ABC 与等边△DCE 中，B，C，E 三点共线，BD 交 AC 于点 G，AE 交 DC 于点 H，连 接 GH. 求证：GH∥BE. 2. 2. 如图，在正方形 ABCD 内取一点 E，连接 AE，BE，在△ABE 外分别以 AE，BE 为边作正方形 AEMN 和 EBFG，连接 NC，AF，求证：NC∥AF. 3. 3. 如图，在等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt△DCE 中，∠ABC=∠DCE=90°，连接 AD，BE，求证： AB2+DE2=AD2+BE2. 梦想不会辜负每一个努力的人 4. 4. 如图，在△ABC 中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以 BC 为腰在△ABC 外部作等腰 Rt△BCD，∠BCD=90°， 连接 AD，求 AD 的长. 5. 5. 【发现问题】如图 1，已知△ABC，以点 A 为直角顶点、AB 为腰向△ABC 外作等腰直角△ABE．请你以 A 为直角顶点、AC 为腰，向△ABC 外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹） ．连接 BD、CE．那 BD 与 CE 的数量关系是． 【拓展探究】如图 2，已知△ABC，以 AB、AC 为边向外作正方形AEFB 和正方形 ACGD，连接 BD、CE， 试判断 BD 与 CE 之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC=60°，BC=15，AB=8，AD=CD，求BD 的最大值． 6. 6. 已知线段 AB⊥直线 l 于点 B，点 D 在直线 l 上，分别以 AB、AD 为边作等边三角形ABC 和等边三角形 ADE，直线 CE 交直线 l 于点 F． （1）当点 F 在线段 BD 上时，如图①，求证：DF=CE﹣CF； （2）当点F 在线段 BD 的延长线上时，如图②；当点F 在线段 DB 的延长线上时，如图③，请分别写出线 梦想不会辜负每一个努力的人 段 DF、CE、CF 之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明； （3）在（1） 、 （2）的条件下，若 BD=2BF，EF=6，则 CF=． 梦想不会辜负每一个努力的人