中考旋转的几种类型

中考旋转的几种类型中考旋转的几种类型 (一)正三角形类型 在正 ΔABC 中,P 为 ΔABC 内一点,将 ΔABP 绕 A 点按逆时针方向旋转 600,使 得 AB 与 AC 重合。经过这样旋转变化,将图(1-1-a)中的 PA、PB、PC 三条线段集 中于图(1-1-b)中的一个 ΔP CP 中,此时 ΔP AP 也为正三角形。 例 1. 如图:(1-1):设 P 是等边 ΔABC 内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,∠APB 的度 数是________. (二)正方形类型 在正方形 ABCD 中,P 为正方形 ABCD 内一点,将 ΔABP 绕 B 点按顺时针方向 旋转 900,使得 BA 与 BC 重合。经过旋转变化,将图(2-1-a)中的 PA、PB、PC 三条 线段集中于图(2-1-b)中的 ΔCPP 中,此时 ΔBPP 为等腰直角三角形。 例 2. 如图(2-1):P 是正方形 ABCD 内一点,点 P 到正方形的三个顶点 A、 B、C 的距离分别为 PA=1,PB=2,PC=3。求此正方形 ABCD 面积。 (三)等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形 ΔABC 中,∠C=Rt∠, P 为 ΔABC 内一点,将 ΔAPC 绕 C 点按逆时针方向旋转 900,使得 AC 与 BC 重合。经过这样旋转变化,在图(3- 1-b)中的一个 ΔP CP 为等腰直角三角形。 例 3.如图,在 ΔABC 中,∠ACB =900,BC=AC,P 为 ΔABC 内一点,且 PA=3, PB=1,PC=2。求∠BPC 的度数。 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定 的法则,对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化,然后在新的图形中分析有关 图形之间的关系.这类实体的特点是:结论开放,注重考查学生的猜想、探索能力;便于 与其它知识相联系,解题灵活多变,能够考察学生分析问题和解决问题的能力.在这一 理念的引导下,近几年中考加大了这方面的考察力度,特别是 2006 年中考,这一部分 的分值比前两年大幅度提高。 为帮助广大考生把握好平移,旋转和翻折的特征,巧妙利用平移,旋转和翻折的知 识来解决相关的问题,下面以近几年中考题为例说明其解法,供大家参考。 一.平移、旋转 平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平 移.“一定的方向”称为平移方向,“一定的距离”称为平移距离。 平移特征:图形平移时,图形中的每一点的平移方向都相同,平移距离都相等。 旋转:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相 等的图形,这样的图形运动叫做图形的旋转,这个定点叫做旋转中心,图形转动的角叫 做旋转角. 旋转特征:图形旋转时,图形中的每一点旋转的角都相等,都等于图形的旋转角。 例 1.(2006 年绵阳市中考试题)如图,将 ΔABC 绕顶点 A 顺时针旋转 60o 后得 到 ΔAB′C′,且 C′为 BC 的中点,则 C′D:DB′=() :2 : : :3 分析:由于 ΔAB′C′是 ΔABC 绕顶点 A 顺时针旋转 60o 后得到的, 所以,旋转角∠CAC′=60o,ΔAB′C′≌ΔABC, ∴AC′=AC,∠CAC′=60o,∴ΔAC′C 是等边三角形, ∴AC′=AC′.又 C′为 BC 的中点, ∴BC′=CC′, 易得 ΔAB′C、ΔABC 是含 30o 角的直角三角形, 从而 ΔAC′D 也是含 30o 角的直角三角形 点评:本例考查灵活运用旋转前后两个图形是全等的性质、等边三角形的判断 和含 30 o 角的直角三角形的性质的能力,解题的关键是发现 ΔAC′C 是等边三角形. 二、翻折 翻折:翻折是指把一个图形按某一直线翻折 180o 后所形成的新的图形的变 化。 翻折特征:平面上的两个图形,将其中一个图形沿着一条直线翻折过去,如果它能 够与另一个图形重合,那么说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是对称轴。 解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的,弄清翻折后不变的要素。 翻折在三大图形运动中是比较重要的,考查得较多.另外,从运动变化得图形得特 殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示,这种由特殊到一般的思想对我们 解决运动变化问题是极为重要的,值得大家留意。 例 2.(2006 年江苏省宿迁市)如图,将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,若∠BAD′=30°,则 ∠AED′等于() ° ° ° ° 分析:由已知条件∠BAD′=30°,易得∠DAD′=60o,又∵D、D′关于 AE 对称, ∴∠EAD=∠EAD′=30o, ∴∠AED=∠AED′=60o. 故选 C 点评:本例考查灵活运用翻折前后两个图形是全等的性质的能力,解题的关键是 发现∠EAD=∠EAD′,∠AED=∠AED′ 点评:图形沿某条线折叠,这条线就是对称轴,利用轴对称的性质并借助方程的的 知识就能较快得到计算结果。 由此看出,近几年中考,重点突出,试题贴近考生,贴近初中数学教学,图形运动的 思想(图形的旋转、翻折、平移三大运动)都一一考查到了.因此在平时抓住这三种运 动的特征和基本解题思路来指导我们的复习,将是一种事半功倍的好方法。 平移与旋转实际上是一种全等变换,由于具有可操作性,因而是考查同学们动手 能力、观察能力的好素材,也就成了近几年中考试题中频繁出现的内容。题型多以 填空题、计算题呈现。在解答此类问题时,我们通常将其转换成全等求解。根据变 换的特征,找到对应的全等形,通过线段、角的转换达到求解的目的。 例 1:如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,将腰 CD 以 D 为 中心,逆时针旋转 90°至 ED,连结 AE、CE,则△ADE 的面积是() A 1 B 2 C 3 D 不能确定 分析:解题的关键是求△ADE 的边 AD 上的高。可先求作直角梯形的高 DF,想到 将△CDF 绕 D 逆时针旋转 90°至△EDG,由 EG=GF,只要 CF 的长,就可以求出△ADE 的面积。 解:过 D 做 DF⊥BC 于 F,过 E 做 EG⊥,交 AD 的延长线于 G ∵∠B=90°,AD∥BC ∴四边形 ABFD 为矩形 ∴FC=BC-AD=3-2=1,∠EDC=∠FDC =90° ∴∠FDC =∠EDG,又∵∠DFC =∠G =90°,ED=CD ∴△EDG≌△CDF,∴EG=CF=1 因此,选择 A 点评:明确△ADE 的边 AD 上的高的概念不要误写成 DE,作梯形高是常见的解题 方法之一。 变式题 1:如图,已知△ABC 中 AB=AC,∠BAC =90°,直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 中点,两边 PE,PF 分别交 AB、AC 于点 E、F,给出以下五个结论: (1)AE=CF(2)∠APE=∠CPF(3)△EPF 是等腰直角三角形(4)EF=AP =S△ABC÷2,当∠EPF 在△ABC 内绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、(5)S 四边形 AEPF B 重合)上述结论中始终正确的序号有___ 例 2D、E 为 AB 的中点,将△ABC 沿线段 DE 折叠,使点 A 落在点 F 处。若 ∠B=