中考数学专题训练圆的证明与计算

圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA ＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D. （1）求证：PB为⊙O的切线； 4 （2）若PA＝PO，⊙O的半径为 10，求线段PD的长. 5 第 1 题图 (1)证明：如解图，连接OA、OB， 第 1 题解图 ∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP(SSS)， ∴∠OAP＝∠OBP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径， ∴PB为⊙O的切线； 4 (2)解：∵PA＝PO，⊙O的半径为 10， 5 ∴在 Rt△AOP中，OA＝ 解得PO＝50， 3 PO2－（PO）2＝10， 4 5 AOOD ∴cos∠AOP＝＝， OPAO ∴OD＝6， 32 ∴PD＝PO－OD＝. 3 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D 三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE. （1）求证：AC是⊙O的切线； 3 （2）若 cosC＝ ，AC＝24，求直径AE的长. 5 第 2 题图 (1)证明：∵AB＝AC，AD＝DC， ∴∠C＝∠B，∠DAC＝∠C， ∴∠DAC＝∠B， 又∵∠E＝∠B， ∴∠DAC＝∠E， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝90°， ∴∠E＋∠EAD＝90°， ∴∠DAC＋∠EAD＝90°， 即∠EAC＝90°， ∴AE⊥AC， ∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； (2)解：如解图，过点D作DF⊥AC于点F， 第 2 题解图 ∵DA＝DC， ∴CF＝1 2AC＝12， 在 Rt△CDF中，∵cosC＝CF 3 CD＝5， ∴DC＝20， ∴AD＝20， 在 Rt△CDF中，由勾股定理得DF  CD2－CF216， ∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C， ∴△ADE∽△DFC， ∴AE AD DC＝DF， 即AE＝ 20 20 16 ，解得AE＝25， 即⊙O的直径AE为 25. 3．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径作⊙O，交 点E，过点E作⊙O的切线EF，交BC于点F． （1）求证：EF⊥BC； （2）若CD=2，tanC=2，求⊙O的半径． BC于点D，交AC于 第 3 题图 （1）证明：如解图，连接BE，OE． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ∵AB=BC， ∴点E是AC的中点， ∵点O是AB的中点， ∴OE∥BC， ∵EF是⊙O的切线， ∴EF⊥OE． ∴EF⊥BC； （2）解：如解图，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 第 3 题解图 ∵CD=2，tanC= ∴AD=4． 设AB=x， 则BD=x－2． AD 2， CD 在 Rt△ABD中， 由勾股定理得AB2=AD2+BD2， 即x2=42+（x－2）2， 解得x=5，即AB=5， ∴⊙O的半径为． 4.如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交 5 2 OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E. （1）求证：∠DAC＝∠DCE； 1 （2）若AB＝2， sinD＝ ，求AE的长. 3 第 4 题图 (1)证明：∵AD是⊙O的切线， ∴∠DAB＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠DAC＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°， ∴∠DAC＝∠ABC. ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝∠OCB， 又∵∠DCE＝∠OCB， ∴∠DAC＝∠DCE； (2)解：∵AB＝2， ∴AO＝1. AO1 ∵sinD＝＝ ， OD3 ∴OD＝3，DC＝2， 在 Rt△DAO中， 由勾股定理得AD＝OD2－OA2＝2 2， ∵∠DAC＝∠DCE，∠D＝∠D， ∴△DEC∽△DCA， ∴ 即 DCDE ＝， DADC ＝， 2 2 2 2DE 解得DE＝ 2， ∴AE＝AD－DE＝ 2. 5.如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过点D作CD⊥OA交弦AB于 点E，交⊙O于点F，且BC是⊙O的切线. （1）求证：CE＝CB； （2）连接AF，BF，求∠ABF的度数； DE5 （3）若CD＝15，BE＝10，＝，求⊙O的半径. AE13 第 5 题图 (1)证明：如解图，连接OB， 第 5 题解图 ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°， ∴∠OBA＋∠CBE＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠OAB+∠CBE＝90°， 又∵CD⊥OA， ∴∠OAB＋∠DEA＝90°， 又∵∠CEB＝∠DEA， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CE＝CB； (2)解：如解图，连接OF， ∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF， 又∵OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF=60°， 1 ∴∠ABF＝ ∠AOF＝30°； 2 (3)解：如解图，过点C作CG⊥AB于点G， ∵CD⊥OA， ∴∠ADE＝∠CGE＝90°， 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△ADE∽△CGE， DEEG5 ∴＝＝， AECE13 ∵CE＝BC， 1 ∴BG＝EG＝BE＝5， 2 ∴CE＝13， 26 ∴DE＝CD－CE＝2，∴AE＝， 5 24 ∴在 Rt△ADE中，由勾股定理得AD AE DE ＝， 5 22 48 ∴OA＝2AD＝， 5 48 ∴⊙O的半径为. 5 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA， CD交于点E，作BF⊥EC，交EC的延长线交于点F，连接BD. （1）求证：△BFC∽△BDA； （2）若AE＝AO，求 cos∠ADE； （3）在（2）的条件下，若BC＝6，求BF的长. 第 6 题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°. ∵BF⊥EC， ∴∠BFC＝90°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCF＝∠BAD， ∴△BFC∽△BDA； (2)解：如解图，连接OD，AC， 第 6 题解图 ∵△BFC∽△BDA， ∴BF BC ＝， BDAB ∵OD是⊙O的半径，AD＝CD， ∴OD垂直平分AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴OD∥BC， ∴△EOD∽△EBC， OEOD ∴＝， BEBC ∵AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB， ∴OD OE2， ＝ BC BE3 3 ∴BC＝OD， 2 3OD BFBC23 ∴＝＝＝ ， BDAB2OD4 ∵∠ADB＝90°， ∴∠ADE＋∠BDF＝90°， ∵∠BDF＋∠DBF＝90°， ∴∠ADE＝∠DBF， BF3 在Rt△BDF中，cos∠DBF＝＝ ， BD4 3 ∴cos∠ADE＝ ； 4 3 (3)解：∵BC＝OD，BC＝6， 2 ∴OD＝4， ∴AE＝4，BE＝12， ∵△EOD∽△EBC， DEOD ∴＝， CEBC 3 ∴CE＝DE， 2 又∵∠EDA＝∠EBC，∠E＝∠E， ∴△AED∽△CEB， AEDE ∴＝， CEBE ∴DE·CE＝AE·BE， 3 ∴DE·DE＝4×12， 2 ∴DE＝4 2(负值舍去)， ∴CD＝2 2，∴AD＝2 2， ∵△BFC∽△BDA