中考数学试题经典大题

中考数学经典大题中考数学经典大题 1.已知在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P. （1）当点 P 在线段 AB 上时， 求证： △APQ~△ACB； （2）当△PQB 是等腰三角形时，求 AP 的长. 2.如图，对称轴为𝑥 = −1的抛物线y = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐（𝑎 ≠ 0）与𝑥轴相交于 A、B 两点，其中 点 A 的坐标为（-3，0）. （1）求点 B 的坐标； （2）已知𝑎 = 1，C 为抛物线与y轴的交点. ①若点 P 是抛物线上第三象限内的点，是否存在点 P，使得 S△POC=4S△BOC，若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. ②设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QD⊥ 𝑥轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值. ③若 M 是𝑥轴上方抛物线上的点，过点M 作 MN⊥ 𝑥轴于点 N，若△MNO 与△OBC 相似，求 M 点的坐标. 3.如图，已知在△ABP 中，C 是 BP 边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙ O 的直径，且交 BP 于点 E. （1）求证：PA是⊙O 的切线； （2）过点 C 作 CF⊥AD，垂足为点 F，延长 CF 交 AB 于点 G，若 AG·AB=12，求 AC 的长； （3）在满足（2）的条件下，若 AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O 的半径. 4.如图，已知函数y = −𝑥2+ 2𝑥 + 3与坐标轴分别交于 A、D、B 三点，顶点为 C. （1）求△BAD 的面积； （2）点 P 是抛物线上一动点，是否存在点 P，使 S△ABP= S△ABC？若存在，求出点 P 的坐标； 2 1 若不存在，请说明理由； （3）在轴上是否存在一点Q，使得△DOQ 与△ABC 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如 果不存在，请说明理由. 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是以 AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点 A、B 在𝑥轴上，△MBC 是边长为 2 的等边三角形。过点M 作直线ι与𝑥轴垂直，交⊙M 于点 E，垂 ̂. 足为点 M，且点 D 平分𝐴𝐶 （1）求过 A、B、E 三点的抛物线的解析式； （2）求证：四边形 AMCD 是菱形； （3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP 的面积等于定值 5？若存在，请求出所有 的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 6.如图 1， 直角△ABC 中， ∠ABC=90°， AB 是⊙O 的直径， ⊙O 交 AC 于点 D， 取 CB 的中点 E， DE 的延长线与 AB 的延长线交于点 P. （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若 OB=BP，AD=6，求 BC 的长； （3）如图 2，连接 OD，AE 相交于点 F，若tan∠C = 2，求𝐴𝐹 𝐹𝐸的值. 7.已知抛物线y = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐经过点 A（3，2） ，B（0，1）和点 C（-1，− ）. （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若抛物线的顶点为P，点A 关于对称轴的对称点为M，过M 的直线交抛物线于 另一点 N（N 在对称轴右边） ，交对称轴于 F，若 S△PFN=4S△PFM，求点 F 的坐标； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点 G，使△BMA 与△MBG 相似？若存在，求点 G 的坐标；若不存在，请说明理由. 8.如图，PB 切⊙O 于 B 点，直线 PO 交⊙O 于点 E、F，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D， 交⊙O 于点 A，延长 AO 交⊙O 于点 C，连结 BC，AF. （1）直线 PA是否为⊙O 的切线，并证明你的结论； （2）若 BC=16，⊙O 的半径的长为 17，求tan∠𝐴𝐹𝐷的值； （3）若 OD：DP=1：3，且 OA=3，则图中阴影部分的面积为？ 9.将抛物线 C1：y = 𝑥2平移后的抛物线 C2与𝑥轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边）与y轴 负半轴交于 C 点，已知 A（-1，0） ，tan∠𝐶𝐴𝐵 = 3. （1）求抛物线 C2的解析式； （2）若点 P 是抛物线 C2上的一点，连接 PB，PC.求 S△BPC= S△CAB时点 P 的坐标； 4 3 2 3 （3）D 为抛物线 C2的顶点，Q 是线段 BD 上一动点，连接CQ，点B，D 到直线 CQ 的距离记 为 d 1，d2，试求出 d1+d2 的最大值，并求出此时 Q 点坐标. 10. 如图 1，AB 为⊙O 的直径，TA为⊙O 的切线，BT 交⊙O 于点 D，TO 交⊙O 于点 C、E. （1）若 BD=TD，求证：AB=AT； （2）在（1）的条件下，求tan∠𝐵𝐷𝐸的值； （3）如图 2，若 11. 如图，过A（1，0） ，B（3，0）作𝑥轴的垂线，分别交直线y = 4− 𝑥于 C、D 两点.抛物线y = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐经过 O、C、D 三点. （1）求抛物线的表达式； （2）点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作𝑥轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样 的点 M，使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐 标；若不存在，请说明理由； （3）若点 P 为抛物线上的一点，连接PD，PC. 求 S△PCD= 3S△CDB 时点 P 的坐标. （4）若△AOC 沿 CD 方向平移（点 C 在线段 CD 上，且不与点 D 重合） ，在平移的过程中 △AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为 S，试求 S 的最大值. 12. 如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，AD 交⊙O 于 点 E. （1）求证：AC 平分∠DAB； （2）连接 BE 交 AC 于点 F，若cos∠𝐶𝐴𝐷= ，求 5 4𝐴𝐹 𝐹𝐶 1 𝐵𝐷 𝑇𝐷 = 4 3，且⊙O 的半径 r=√7，则图中阴影部分的面积为？ 的值. 13. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折 痕为 EC，连结 AP 并延长交 CD 于 F 点. （1）求证：四边形 AECF 为平行四边形； （2）若△AEP 是等边三角形，连结 BP，求证：△APB≅△EPC； （3）若矩形 ABCD 的边 AB=6，BC=4，求△CPF 的面积. 14. 如图，在平面直角坐标系𝑥𝑜y中，抛物线y = 𝑎𝑥2− 2𝑎𝑥 − 3𝑎（𝑎 0）与𝑥轴交于 A、B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：y = 𝑘𝑥 + b与y轴负半轴交于点 C，与抛物线的 另一个交点为 D，且 CD=4AC. （1）直接写出点 A 的坐标，并求出直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含𝑎的式子表示） ； （2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若△ACE