中考培优竞赛专题经典讲义第23讲轨迹问题之直线轨迹

第 23 讲轨迹问题之直线轨迹 点的轨迹问题近年来在考试中经常出现，解决这类问题，首先得要了解，哪些条件会产生这类轨迹? 模型讲解 定直线 模型一：轨迹为直线 P 动点 P 到定直线距离保持不变，点P 的轨迹为一直线 P 的轨迹为一直线点 P 与定线段一端点连接后，与该线段所夹角保持不变，点 【例题讲解】 定直线 例题 1 如图，已知 A= 10,点 C、D 在线段 AB 上，且 AC = DB = 2, P 是线段 CD 上的动点，分别以 AP、PB 为 边在线段 AB 的同侧作等边△ AEP 和等边△ PFB，连接 EF，设 EF 的中点为 G,当点 P 从点 C 运动到点 D 时，则点 G 移动路径的长是. 【解析】延长 AE、BF，相交于点 H，连接 HP 易得△ HAB 为等边三角形，四边形 HEPF 为平行四边形 平行四边形的对角线互相平分，且G 为 FE 中点 G在 HP 上，且 G 为 HP 的中点 当P 从点 C 运动到点 D 时，G 始终为 HP 的中点 G 到 AB 的距离始终为点 H 到 AB 的距离的半 点G 的轨迹为直线 MN即为 G 点运动的路径长 A C PD B 例题 2、如图，边长为 2a 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接MB，将线 段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN.则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是 ______________. 【解析】连接 AN 易证△ ANB◎△ CMB/BAN= ZBCM=30°T AB 边为定边 ••• N 在与 AB 夹角为 30°的直线上运动 当HN 丄 AN 时，HN 最短（即为图中 N 点） /BAN = 30°,AH = 1 AB= a 2 HN = ! AH = 1a 22 3 例题 3、在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（0, 2）,点 M 的坐标为（m— 1,— — m—— 4 为实数），则 PM 的最小值为 39 【解析】点M 的坐标为（m— 1,— — m — 设x= m — 1, y— 3 =— m—— 9 44 44 m= x+1 . ② 3 将②式代入①式化简得 y=-4x-3 3 点M 在函数 y= — — x— 3 上运动，轨迹为直线 4 当PM 丄 AB 时，PM 最小 9 m 4 ）（其中 根据△ PMBAOB，即可得 PM = 4 PM 的最小值为 4 【巩固训练】 1、等边三角形 ABC 中，BC = 6, D、E 是边 BC 上两点，且 BD = CE = 1,点 P 是线段 DE 上的一个动 点，过点 P 分别作 AC、AB 的平行线交 AB、AC 于点 M、N，连接 MN、AP 交于点 G，则点 P 由点 D 移动 到点 E 的 过程中，线段 BG 扫过的区域面积为 2、如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，且 AC = DB = 1，点 P 是线段 CD 上的动 点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作正方形 AMNP 和正方形 BROP, E、F 分别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设 EF 的中点为 G,则当点 P 从点 C 运动到点 D 时，点 G 移动的路径长为. B 3、如图，矩形 ABCD 中，AB = 6, AD = 8，点 E 在边 AD 上，且 AE: ED = 1 : 3.动点 P 从点 A 出发， 沿 AB 运动到点 B 停止.过点 E 作 EF 丄 PE 交射线 BC 于点 F,设 M 是线段 EF 的中点，则在点 P 运动的整 个过程中，点 M H 运动路线的长为 4、在△ ABC 中，/ BAC = 90°,AB= AC= 2cm,线段 BC 上一动点 P 从 C 点开始运动，至 U B 点停止, 以 AP 为边在 AC 的右侧做等边△ APQ，则 Q 点运动的路径长为 _________________cm. 5、如图，在平面直角坐标系中， A (1, 4), B (3, 2), C ( m , - 4m+ 20),若 0C 恰好平分四边形 OACB 的面 积，贝 U C 点坐标为. 6、如图 1 是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ ABC 内接于OG, AB 是OG 的直径，AB= 6, AC = 2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2）,然后点 A 在射线 Ox 上由点 O 开始向 右滑动，点 B 在射线 OY 上也随之向点 O 滑动（如图 3）,当点 B 滑动至与点 O 重合时运动结束.在整个运 动过程中， 点 C 运动的路程是 7、在直角梯形 ABCD 中，AB// CD , BC 丄 CD, AB = 3, CD = 4,在 BC 上取点 P （P 与 B、C 不重合）， 连 接 PA 延长至 E,使 PA = 2AE,连接 PD 并延长到 F ,使 PD = 4FD ,以 PE、PF 为边作平行四边形，另 一个顶点为 G, 图 则 PG 长度的最小值为. 8、如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 ,3 的一个定点，AC 丄 x 轴于点 M，交直线 y=— x 于点 N. 若点 P 是线段 ON 上的一个动点，/ APB = 30°,BA 丄 PA,则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点 随之运动， 求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是 I y N C 9、如图，边长为 4 的等边三角形 AOB 的顶点 0 在坐标原点，点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在第一象限. 一动点 P 从 0 点出发沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，当点 P 到达点 A 时停止运动，设点 P 运动的时间是 t 秒• 将线段 BP 的中点绕点 P 按顺时针方向旋转 60。得点 C,点 C 随点 P 的运动而运动， 连接 CP , CA,过点 P 作 PD丄 OB 于点 D. (1) 填空：PD 的长为 __________ (用含 t 的代数式表示)； (2) 求点 C 的坐标(用含 t 的代数式表示)； (3)在点 P 从 O 向 A 运动的过程中，求点 C 运动路线的长• |yAy P 10、如图 1,在 RtAABC 中，/ C= 90°,AC = 6, BC = 8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以 1 个 单位长度 的速度运动，动点 时间为 t 秒(t 0). (1 )直接用含 t 的代数式分别表示： QB=_____________, PD =. (2)是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由.并探究 如何改变 Q 的速度(匀速运动)，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度； Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点P 作 PD // BC,交 AB 于点 D，连接 PQ 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运 动，设运动 (3) 径长. 如图 2，在整个运动过程中，求出线段 PQ中点 M