M推理与证明文科
M M推理与证明推理与证明 M1合情推理与演绎推理 12．M1M1[2012·陕西卷] 观察下列不等式 1 3 1＋ 2 ， 22 115 1＋ 2＋2＜ ， 233 1117 1＋ 2＋2＋2＜ ， 2344 …… 照此规律，第五个不等式为________． ．．． 11111 11 12．1＋ 2＋2＋2＋2＋2 [解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的 234566 关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果． 从几个不等式左边分析，可得 11111 出第五个式子的左边为：1＋ 2＋2＋2＋2＋2，对几个不等式右边分析，其分母依次为： 23456 2,3,4，所以第 5 个式子的分母应为 6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第 5 个式子的分子应 11111 11 为 11，所以第 5 个式子应为：1＋ 2＋2＋2＋2＋2 . 234566 － 16．M1M1[2012·湖南卷] 对于 n∈N N*，将 n 表示为 n＝ak×2k＋ak－1×2k 1＋…＋a1×21＋ a0×20，当i＝k 时，ai＝1，当0≤i≤k－1 时，ai为 0 或 1.定义 bn如下：在n 的上述表示中， 当 a0，a1，a2，…，ak中等于 1 的个数为奇数时，bn＝1；否则 bn＝0. (1)b2＋b4＋b6＋b8＝________； (2)记 cm为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m＋1 个为 0 的项之间的项数，则cm的最大 值是________． 16．(1)3(2)2[解析] 本题以二进制为依据考查数列推理，意在考查考生的逻辑推理 能力，具体的解题思路和过程：由前几项的结果，得出规律． (1)由 2＝21＋0＝10(2)易知 b2＝1,4＝1×22＋0×21＋0×20＝100(2)可知 b4＝1，同样可知 b6＝0，b8＝1，所以 b2＋b4＋b6＋b8＝3； (2)任何一个二进制的数，当 1 的个数为奇数的时候，连续的这样的数最多只有两个， 所以 cm的最大值是 2. [易错点] 本题易错一：推理能力不行，无法找到规律，导致无从下手；易错二：发现 不了数列与二进制的关联，导致第(2)问无从下手． 17． M1M1[2012·湖北卷] 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石 子表示数．他们研究过如图1－6 所示的三角形数： 图 1－6 将三角形数 1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列{bn}．可以推测： (1)b2 012是数列{an}中的第________项； (2)b2k－1＝________.(用 k 表示) 5k5k－1 17．[答案] (1)5 030(2) 2 nn＋1 [解析] 由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为 an＝，写出其若 2 干项来寻找规律：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，其中能被 5 整除的为 10,15,45,55,105,120，即 b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15. 5k5k＋1 由上述规律可猜想： b2k＝a5k＝(k 为正整数)， 2 5k－15k－1＋15k5k－1 b2k－1＝a5k－1＝＝， 故 b2 012＝a2×1 006＝a5×1 006＝a5 030， 即 b2 012 22 是数列{an}中的第 5 030 项． 20．C1C1、M1M1[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等 于同一个常数： (1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； 22 (2)sin 15°＋cos 15°－sin15°cos15°； 22 (3)sin 18°＋cos 12°－sin18°cos12°； 22 (4)sin (－18°)＋cos 48°－sin(－18°)cos48°； 22 (5)sin (－25°)＋cos 55°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 20．解：解法一： (1)选择(2)式，计算如下： 1 sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－ sin30° 2 13 ＝1－ ＝ . 44 3 (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－a)＝ . 4 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) 33131 ＝sin2α＋ cos2α＋sinαcosα＋ sin2α－sinαcosα－ sin2α 42422 333 ＝ sin2α＋ cos2α＝ . 444 解法二： (1)同解法一． 3 (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝ . 4 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α) 1－cos2α1＋cos60°－2α ＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα) 22 111131 ＝ － cos2α＋ ＋ (cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－ sin2α 222222 1111331 ＝ － cos2α＋ ＋ cos2α＋sin2α－sin2α－ (1－cos2α) 2224444 1113 ＝1－ cos2α－ ＋ cos2α＝ . 4444 5．M1M1[2012·江西卷] 观察下列事实：|x|＋|y|＝1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，|x|＋|y| ＝2 的不同整数解(x，y)的个数为 8，|x|＋|y|＝3 的不同整数解(x，y)的个数为 12，…，则|x| ＋|y|＝20 的不同整数解(x，y)的个数为() A．76B．80C．86D．92 5．B[解析] 个数按顺序构成首项为4，公差为 4 的等差数列，因此|x|＋|y|＝20 的不同 整数解(x，y)的个数为 4＋4(20－1)＝80，故选 B. M2直接证明与间接证明 23．D5D5、M2M2[2012·上海卷] 对于项数为 m 的有穷数列{an}，记 bk＝max{a1，a2，…， ak}(k＝1,2，…，m)，即 bk为 a1，a2，…，ak中的最大值， 并称数列{bn}是{an}的控制数列． 如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有的{an}； (2)设{bn}是{an}的控制数列，满足 ak＋bm－k＋1＝C(C 为常数，k＝1,2，…，m)，求证： bk＝ak(k＝1,2，…，m)； 1 nn＋1 ，1 .若 an＝an2－(－1) (3)设 m＝100，常数 a∈n，{bn}是{a
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