FIR带阻滤波器的设计

武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书 1 前言 数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进 行数学处理来达到频域滤波的目的。 根据其单位冲激响应函数的时域特性可分为 两类：无限冲激响应（IIR）滤波器和有限冲激响应（FIR）滤波器。与IIR 滤波 器相比，FIR 的实现是非递归的，总是稳定的；更重要的是，FIR 滤波器在满足 幅频响应要求的同时，可以获得严格的线性相位特性。因此，它在高保真的信号 处理，如数字音频、图像处理、数据传输、生物医学等领域得到广泛应用。 有限长单位冲激响应(FIR) 数字滤波器具有严格的线性相位， 又具有任意的 幅频特性。同时FIR 系统只有零点，系统是稳定的,因而容易实现线性相位和允 许实现多通道滤波器。只要经过一定的时延， 任何非因果有限长序列都能变成因 果的有限长序列， 因而总能用因果系统来实现。FIR 滤波器由于单位冲激响应 是有限长的， 可以用快速傅立叶变换(FFT) 算法来实现过滤信号， 从而大大提高 运算效率。由于 FIR 滤波器具有以上优点，在信号处理和数据传输中得到了广 泛的应用。 Matlab 语言是一种用于科学计算的高效率语言。随着 Matlab 信号处理工 具箱(Signal Processing Toolbox) 的不断完善,使数字滤波器的计算机辅助设 计得以实现。 1 武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书 2 设计原理 2.1 带阻滤波器的设计 理想带阻的频响： 其单位抽样响应： 带阻滤波器（W1，W2）=高通滤波器（W2）+低通滤波器（W1） 2.2 滤波器频率特性 根据h(n)  hd(n)W(n)时域中两序列相乘。 在频域中：为hd(n)与W(n)的卷积 （且为两序列频谱的周期卷积） 1  jwH（e) H d (ej)W(ej(w)d 2  以低通H d (ejw)为例，说明频率特性 （2）研究什么窗函数使 H（ejw)  H d (ejw)变化最小。 即使H（ejw)最佳 逼近H d (ejw) （ 1）H（ejw)  H d (ejw)发生了什么变化？ 2.3 窗口法原理 用一个有限长度的窗口函数序列 W(n)来截取 hd(n)： （即进行砍头截尾） ， h(n)=W(n)hd(n)使 h(n)满足因果，有限长，实序列，并具有奇、偶对称性，则 可设计出具有线性相位的 FIR 滤波器。 窗口法应用广泛，利用窗函数法可以设计四种线性相位 FIR DF，即低通、高 通、带通、带阻。 2 武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书 3 窗函数 3.1 加窗函数的影响 （1）不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函 数频率响应的主瓣宽度。 （2）在 W=Wc+2pi/N 处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡的幅度和多少取 决于旁瓣的幅度和多少。 （3）改变 N 只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其 相对比例由窗函数形状决定，称为 Gibbs 效应。 3.2 窗函数的要求 1) 窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带； 2) 尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹。 3.3 各种窗函数 1、矩形窗 窗谱： 幅度函数： 主瓣宽度最窄：4pi/N，旁瓣幅度大 2、三角形（Bartlett）窗 窗谱： 3 武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书 幅度函数： 主瓣宽度宽：8pi/N，旁瓣幅度较小 3、汉宁(Hanning)窗(升余弦窗) 幅度函数： （N》1） 主瓣宽度宽：8pi/N，旁瓣幅度小 4、海明(Hamming)窗(改进的升余弦窗) 幅度函数： （N》1） 主瓣宽度宽：8pi/N，旁瓣幅度更小 5、布莱克曼(Blackman)窗(二阶升余弦窗) 幅度函数： （N》1） 主瓣宽度最宽：12pi/N，旁瓣幅度最小 6、凯泽(Kaiser)窗 4 武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书 Io：第一类变形零阶贝塞尔函数 改变β可同时调整主瓣宽度和旁瓣幅度，β增加则旁瓣幅度降低，但主瓣宽 度减小。 3.4 窗函数的特性 对称有限区间的窗函数的幅度响应有稳定的主瓣和衰减的旁瓣，可以全为正， 也可以改变符号。 窗函数的幅度参数包括:旁瓣峰值电平(PSL),单位 dB；延迟率 Ds,单位为 dB/dec 窗函数的频率参数包括：主瓣宽度 WM、3dB、6dB 宽度（W3 和 W6） 、到达旁瓣峰 值电平时的宽度 Ws。 3.5 各种窗函数频谱 图 3-1 各种窗函数频谱 5 武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书 4 带阻滤波器设计过程 4.1 带阻滤波器概念 数字带阻滤波器也具有频率响应的周期性，频率变量以数字频率来表示 （ T   f s ，为模拟角频率，T为抽样时间间隔，f s 为抽样频率） ，所以 数字滤波器设计中必须给出抽样频率。图 3.1 数字带阻滤波器理想幅度频率响应 （只表示了正频率部分） ，这样的理想频率响应是不可能实现的，原因是频带之 间幅度响应是突变的，因而其单位抽样响应是非因果的。 图 4-1理想带阻滤波器的幅频特性 一般来说， 滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。 以低通滤波器为例， 如图 3.2 所示， 频率响应有通带、 过渡带和带阻三个范围 （非 理想的） 。在通带内，幅度响应以误差为 1 逼近于 1，即 1 1  H ej1，  c （式 3-1） 在带阻中，幅度响应以误差为 2 逼近于 0，即   H ej 2 ， st （式 3-2） 其中 c ， st 分别为通带截止频率和阻带截止频率，他们都是数字域频率。为了 逼近理想低通滤波器特性，还必须有一个非零宽度  st  c 的过渡带，在这个 过渡带内的频率响应平滑地从通带下降到阻带。   图 4-2 理想低通滤波器逼近的误差容限 6 武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书 4.2 初始条件解析 由于初始条件为中心频率 =200Hz，带宽=150Hz，所以阻带衰减频率分别为 125Hz 和 275Hz。 4.3 窗函数设计方法设计思路 （1）先给定所要求设计的理想滤波器的频率响应 Hd(ejw). （2）设计一个可实现的 FIR 滤波器频率响应 H(ejw)。 （3）由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h(n)去逼近理想单位取样响 应序列 hd(n). 即， 用一个有限长度的窗口函数序列W(n)来截取hd(n)：（即进行砍头截尾） ， h(n)=W(n)hd(n) 使 h(n)满足因果，有限长，实序列，并具有奇、偶对称性，则可设计出具有线 性相位的 FIR 滤波器。 4.4 改善滤波器性能的措施 如果给出的理想低通滤波器在通带的频谱H d (ejw)等于 1 而阻带为 0，则不 论样点 N 取得如何密， 在临界频率处总有两个幅度突变的样点，它们之间的落差 为 1。于是阻带边缘产生反冲和阻尼振荡，其最大幅度取决于 sinc[]函数，是个 固定的值。 这样设计出来的滤波器的阻带最小衰耗固定为-20dB， 与矩形窗一样。 增加采样点数 N 不能