2复数的几何意义学案

复数的几何意义复数的几何意义 [学习目标]1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数， 及它们之间的一一对 应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法. 知识点一复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念 根据复数相等的定义，任何一个复数 z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定. 因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的 点之间可以建立一一对应. 如图所示，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z＝a＋bi 可用点 Z(a，b)表示.这个建立了 直角坐标系来表示复数的平面叫做，x 轴叫做，y 轴叫做.显 然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的 每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集 C C 和复平面内所有的点所成的集合是 一一对应的，即复数 z＝a＋bi复平面内的点，这是复数的一种几何意义. 3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中， 每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示， 而有序实数对与复 数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数. → 如图所示，设复平面内的点Z 表示复数 z＝a＋bi，连接 OZ，显然向量OZ由点 Z 唯一确定； → 反过来，点 Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集 C C 与复平面内的向 量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)， 即复数z＝a＋bi 这是复数的另一种几何意义. → 平面向量OZ， 思考(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？ (2)象限内的点与复数有何对应关系？ 答案(1)不是. (2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负. 知识点二复数的模 → 1.如图所示，向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果 b＝0， 那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi| ＝r＝ a2＋b2(r≥0，r∈R R). 2.复数的模的性质，设 z1，z2是任意两个复数，则 z1|z1| (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|， z2＝|z2|(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). n*(2)|zn 1|＝|z1| (n∈N N ). (3)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当 |z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对 应的向量同向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对 应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2所对应的向量同向共线. 思考复数的模的几何意义是什么？ 答案复数 z 在复平面内对应的点为Z，复数 z0在复平面内对应的点为Z0，r 表示一个大于 0 的常数，则： ①满足条件|z|＝r 的点 Z 的轨迹为以原点为圆心，r 为半径的圆，|z|＜r 表示圆的内部，|z|＞r 表示圆的外部； ②满足条件|z－z0|＝r 的点 Z 的轨迹为以 Z0为圆心， r 为半径的圆， |z－z0|＜r 表示圆的内部， |z－z0|＞r 表示圆的外部. 题型一复数与复平面内的点 例 1在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在 第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线 y＝x 上，分别求实数m 的取值范围. 解复数 z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i 的实部为 m2－2m－8，虚部为 m2＋3m－10. (1)由题意得 m2－2m－8＝0. 解得 m＝－2 或 m＝4. 2  m －2m－8＜0， (2)由题意，∴2m4. 2 m ＋3m－10＞0， (3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)0， ∴2m4 或－5m0，得 m5，所以当 m5 时，复数 z 对应的点在 x 轴上方. (2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0， 55 得 m＝1 或 m＝－ ，所以当 m＝1 或 m＝－ 时， 22 复数 z 对应的点在直线 x＋y＋4＝0 上. 题型二复数的模的几何意义 例 2设 z∈C ，在复平面内对应点 Z，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形. (1)|z|＝2； (2)1≤|z|≤2. 解(1)方法一|z|＝2 说明复数 z 在复平面内对应的点 Z 到原点的距离为 2，这样的点 Z 的 集合是以原点 O 为圆心，2 为半径的圆. 方法二设 z＝a＋bi，由|z|＝2，得 a2＋b2＝4.故点 Z 对应的集合是以原点 O 为圆心，2 为半 径的圆. |z|≤2， (2)不等式 1≤|z|≤2 可以转化为不等式组 |z|≥1. 不等式|z|≤2 的解集是圆|z|＝2 及该圆内部所有点的集合. 不等式|z|≥1 的解集是圆|z|＝1 及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2 的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合 是以 O 为圆心，以 1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界. 反思与感悟解决复数的模的几何意义的问题， 应把握两个关键点：一是|z|表示点 Z 到原点 的距离，可依据|z|满足的条件判断点 Z 的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模 的问题转化为几何问题来解决. 跟踪训练 2若复数 z 满足|z－i|≤ 2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面所对应的图形的面积 为. 答案2π 解析设 z＝x＋yi(x，y∈R R)，则 z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝ －i|≤ 2知 x2＋y－12，由|z x2＋y－12≤ 2， x2＋(y－1)2≤2.∴复数 z 对应的点(x， y)构成以(0,1)为圆心， 2 为半径的圆面(含边界)， ∴所求图形的面积为 S＝2π.故填 2π. 题型三复数的模及其应用 例 3已知复数 z＝3＋ai，且|z|4，求实数 a 的取值范围. 解方法一∵z＝3＋ai(a∈R R)， ∴|z|＝32＋a2， 由已知得 32＋a242， ∴a27，∴a∈(－ 7， 7). 方法二利用复数的几何意义，由|z|4 知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4 为 半径的圆内(不包括边界)， 由 z＝3＋ai 知 z 对应的点在直线 x＝3 上， 所以线段 AB(除去端点)为动点 Z 的集合. 由图可知：－ 7a 7. 反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实、 虚部满足的条件