96可积性理论

《数学分析》教案第九章定积分 *§9．6 可积性理论的补叙 这一节，我们从理论上研究函数可积准则，给出函数在某一区间上可积的 充分必要条件。 一、 达布达布(Darboux 1842(Darboux 1842～～19171917 法国数学家法国数学家) ) 上和与下和的性质上和与下和的性质 1 1、思路与方案：、思路与方案： 思路思路: :鉴于积分和与分法和介点有关 ,先简化积分和.用相应于分法 T的 ““最大””和““最小””的两个““积分和””去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼 原理考查 积分和有极限, 且与分法T及介点 i 无关的条件 . 方案方案: : 定义上和上和S(T)和下和下和s(T). .研究它们的性质和当T  0时有相 同极限的充要条件 . 2. 2.DarbouxDarboux和和: : 以下总设函数f (x)在区间[a,b]上有界. 并设m  f (x)  M, 其中m和M分别是函数f (x)在区间[a,b]上的下确界和上确界 . 定义DarbouxDarboux和, 指出DarbouxDarboux和未必是积分和 . 但DarbouxDarboux和由分法T 唯一确定. 分别用S(T)、s(T)和(T)记相应于分法T的上（大）和、下（小）和与 积分和. 积分和 __ __ (T) 是数集(多值) .但总有s(T) (T) S(T), , 因此有 1 __ 《数学分析》教案第九章定积分 s(T)S(T). . s(T)和S(T)的几何意义 . __ __ 3. 3.DarbouxDarboux和的性质和的性质: : 本段研究DarbouxDarboux和的性质, 目的是建立DarbouxDarboux定理. 先用分点集定义分法和精细分法:T T 表示 T 是T的加细 . 性质性质 1 1：：若T T , 则s(T) s(T), ,S(T)S(T). . 即 :分法加细, 大 和不增, 小和不减 . ( 证 ) 性质性质 2 2：：对任何T, 有m(b  a) S(T),M(b  a)s(T). . 即 : 大和 有下界, 小和有上界. ( 证 ) 性质性质 3 3：：对任何T 1 和T 2 , 总有s(T 1 )S(T 2 ). . 即: 小和不会超过大和 . 证：证：s(T 1 )s(T 1 T 2 )S(T 1 T 2 )S(T 2 ). . 性质性质 4 4：：设 T 是T添加p个新分点的加细. 则有 s(T)s(T)s(T)+ +p(M  m)T , S(T)S(T)S(T) p(M m) T. 证：证：设T1是只在T中第i个区间[x i1 , x i ]内加上一个新分点x所成的分 法, 分别设 M 1  sup f (x),M 2  sup f (x),M i  sup f (x) . [xi1,x ][x,xi] [xi1,xi] ____ __ __ ____ ______ 显然有m  M 1 和M 2  M i  M.于是 2 《数学分析》教案第九章定积分 0  S(T) S(T 1 )  M i (x i  x i1 ) M 1(x xi1) M2 (x i  x)  (M i  M 1)(x xi1)(Mi M 2 )(x i  x)   (M m)(x x i1 )(M m)(x i  x)  (M m)(x i  x i1 )  (M m) T. 添加p个新分点可视为依次添加一个分点进行p次. 即证得第二式. 可类证第一式. 推论：推论：设分法 T 有p个分点，则对任何分法T，有 S(T)  p(M  m) ||T || S(T)，s(T)  p(M  m) ||T || s(T). 证：证：S(T) p(M  m)||T || S(T T) S(T). s(T)  p(M  m) ||T || s(T T) s(T). 4 4、上积分和下积分、上积分和下积分: : 设函数f (x)在区间[a,b]上有界.由以上性质 2 ， s(T)有上界 ，S(T)有下界 .因此它们分别有上确界和下确界. __ 定义：定义：记b a f (x)dx inf S(T), T b a f (x)dx sups(T).分别称 T b a 和 b a 为 函数f (x)在区间[a,b]上的上积分上积分和下积分下积分. . 对区间[a,b]上的有界函数f (x), 并且 对任何分法T,有s(T) 上、下积分的几何意义. 3 b a b a 和b a 存在且有限 ,b a b a . b a S(T). . __ 《数学分析》教案第九章定积分 例例 1 1、、求 数 . 5 5、、DarbouxDarboux定理定理 : : 定理定理 1 1：：设函数f (x)在区间[a,b]上有界,T是区间[a,b]的分法 . 则有 lim S(T)= = T 0 __ 1 0 D(x)dx和1 0 D(x)dx.其中D(x)是 DirichletDirichlet 函 b a f (x)dx,lims(T)= = T 0 b a f (x)dx. 证：证：( 只证第一式 .要证 :对 0,  0,使当T 时有 0 S(T)   a __  b b a .0 S(T)  T __ b a 是显然的. 因此只证S(T)  __ __ b a . )  inf S(T),对 0, T ,使S(T)  __ b a , *) 2  设 T 有p个分点,对任何分法T , 由性质 4 的系, 有S(T) p(M  m)T __ S(T), , ) ____ 由* 式, 得S(T) p(M  m)TS(T)  S(T) p(M  m)T  亦即S(T)   于是取 对任何 __ __ b a ,即 2  b a , 2  b a p(M  m)T . 2 b a   2p(M  m) , ( 可设M  m, 否则f (x)为常值函数,=S(T) __ 分法T成立. )对任何分法T, 只要T , 就有 4 《数学分析》教案第九章定积分 __ 0 S(T)  此即lim S(T)= = T 0 __ b a   2   2 . b a f (x)dx. 二、二、可积的充要条件可积的充要条件: : 定定理理 2 2（（充充要要条条件件 1 1 ）） ：设函数f (x)在区间[a,b]上有界. f (x) R[ a,b] b b a =b a . . 证证：：)设f (x)dx=I a ,则有lim T 0  f (x )x ii =I. 即对  0,  0,使当T 时有 |  f (x i )x i  I|  对 i x i 成立. 2 