2020年中考数学必考高分考点：最值问题试题

题海无涯·备战中考 专题专题 3333最值问题最值问题 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要为以 下几种： 1.二次函数的最值公式 二次函数y  ax bx  c（a、b、c 为常数且a  0）其性质中有 2 专题知识回顾专题知识回顾 4ac b2b ①若a  0当x  时,y 有最小值。ymin； 4a2a 4ac b2b ②若a  0当x  时,y 有最大值。ymax。 4a2a 2.一次函数的增减性 一次函数y  kx b(k  0)的自变量 x 的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大（小） 值；但当m  x  n时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大（小）值。 3. 判别式法 根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程； 再根据x是实数,推得  0,进而求出y的取值范围, 并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法 “最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质 在实数范围内,显然有a b  k  k,当且仅当a  b  0时,等号成立,即a b  k的最小值为 k。 6. 零点区间讨论法 用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号,然后求出 y 在各个区间上的最大值,再加以比较,从中 确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解 在不等式x  a中,x  a是最大值,在不等式x  b中,x  b是最小值。 8. “夹逼法”求最值 在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式获取 问题的答案,这一方法称为“夹逼法” 。 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 精品资源·战胜中考 2222 题海无涯·备战中考 【例题【例题 1 1】】 （经典题）（经典题）二次函数 y=2（x﹣3）2﹣4 的最小值为． 【例题【例题 2 2】】（（20182018 江西）江西）如图,AB 是⊙O 的弦,AB=5,点 C 是⊙O 上的一个动点,且∠ACB=45°,若点 M、N 分别 是 AB、AC 的中点,则 MN 长的最大值是． 【例题【例题 3 3】】 （（20192019 湖南张家界）湖南张家界）已知抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点 2 C,OC＝3． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作AM⊥BC,垂足为M,求证：四边形ADBM为正方形； （3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求P点坐标及最大面积的值； （4）若点Q为线段OC上的一动点,问AQ＋ 明理由． 1 QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值；若不存在,请说 2 y C 3 2 1 -2 -1O -1 M A 12 D 3 B x 专题典型训练题专题典型训练题 精品资源·战胜中考 题海无涯·备战中考 1.1.（（20182018 河南）河南）要使代数式23x有意义,则 x 的（） A.最大值为 C.最大值为 22 B.最小值为 33 33 D.最大值为 22 2.2.（（20182018 四川绵阳）四川绵阳）不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4 和 12 且第三边上的高为整数,那么此高的 最大值可能为________。 3.3.（（20182018 齐齐哈尔）齐齐哈尔）设 a、b 为实数,那么a  ab b  a  2b的最小值为_______。 4.4. （（20182018 云南）云南） 如图,MN 是⊙O 的直径,MN=4,∠AMN=40°,点 B 为弧 AN 的中点,点 P 是直径 MN 上的一个动点, 则 PA+PB 的最小值为． 22 5.5.（（20182018 海南）海南）某水果店在两周内,将标价为 10 元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤,并 且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第 1 天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x＜15)之间的函数关 系式,并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 售价(元/斤) 销量(斤) 储存和损耗费用(元) 1≤x＜99≤x＜15x≥15 第 1 次降价后的价格第 2 次降价后的价格 80－3x 40＋3x 2 120－x 3x－64x＋400 （3）在（2）的条件下,若要使第 15 天的利润比（2）中最大利润最多少 127.5 元,则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？ 6.6.（（20182018 湖北荆州）湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为 40 只,且每日产出的产品全部售出, 已知生产 x 只玩具熊猫的成本为 R（元） ,售价每只为 P（元） ,且 R、P 与 x 的关系式分别为R  500 30 x, P  170 2x。 精品资源·战胜中考 题海无涯·备战中考 （1）当日产量为多少时,每日获得的利润为 1750 元； （2）当日产量为多少时,可获得最大利润？最大利润是多少？ 7.7.（（20182018 吉林）吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150 人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600 元和 1000 元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2 倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得 每月所付的工资最少？ x2 x 1 8.8.（经典题）（经典题）求 2 的最大值与最小值。 x  x 1 9.9.（经典题）（经典题）求代数式x 1 x的最大值和最小值。 10.10.（经典题）（经典题）求函数y |x 1||x  4|5的最大值。 11.11. （（20182018 山东济南）山东济南）已知 x、y 为实数,且满足x  y  m  5,xy  ym mx  3,求实数 m 最大值与最小 值。 12.12.（（20192019 年黑龙江省大庆市）年黑龙江省大庆市）如图,在 Rt△ABC中,∠A＝90°．AB＝8cm,AC＝6cm,若动点D从B出发,沿线 段BA运动到点A为止（不考虑D与B,A重合的情况）,运动速度为 2cm/s,过点D作DE∥BC交AC于点E,连 接BE,设动点D运动的时间为x（s）,AE的长为y（cm） ． （1）求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围； （2）当x为何值时,△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？ 2 13.13.（（20192019 年宁夏）年宁夏）如图,在△ABC中,∠A＝90°,AB＝3,AC＝4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点（点M不与 A,B重合）,且MQ⊥BC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x． （1）试说明不论x为何值时,总有△QBM∽△ABC； （2）是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由； （3）当x