【八年级上册数学华师大版】专题07 全等三角形能力提升题（压轴题）（解析版）

专题07 全等三角形能力提升题（压轴题） 华师版数学八年级上册期末考试，通常用“全等三角形能力提升题”，作为压轴题。 1．（1）如图1，已知在中，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明． （2）如图2，将（1）中的条件改为在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【详解】证明（1）如图1， ∵直线m，直线m， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）如图2， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 2．直角三角形中，，直线过点． 1当时，如图①，分别过点，作于点，于点．试说明； 2当，时，如图②，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ① ，当在路径上时， ；（用含的代数式表示） ②当与全等时，求的值． 【答案】1证明见详解；2①，；②当秒或秒或秒时 【详解】（1）解∵直角三角形中，，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解①由题意得，，， 则， 由折叠的性质可知，， ∴． 故答案为，； ②由折叠的性质可知，， ∵，， ∴， ∴当时，与全等， 当点沿路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 综上所述，当秒或秒或秒时，与全等． 3．如图（），已知点在上，和都是等腰直角三角形，，且为的中点． 1求证为等腰直角三角形； 2将绕点再逆时针旋转时（如图（）所示的位置），为等腰直角三角形的结论是否仍成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】1见解析；2成立，证明见解析 【详解】（1）如图，延长交于点． ， ． ． 在和中， ，． ， ． 是等腰直角三角形，且是底边的中线． ，． 为等腰直角三角形． （2）为等腰直角三角形．理由如下 如图（），作交的延长线于点，连接， ． ，， ，． 在和中， ，． ， 是等腰直角三角形，且是底边的中线． ，． 为等腰直角三角形． 4．（1）【问题背景】如图1在四边形中，，，，E、F分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是． （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）10 【详解】（1）解如图1， 在和中， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为 （2）解结论仍然成立； 理由如图2，延长到点G．使．连接， 在和中， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； （3）解如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在与中， ∵， ∴ ∴ ∴的周长 5．（1）阅读理解如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法 延长到点E使，再连接，这样就把集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是 ；则中线的取值范围是 ； （2）问题解决如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，此时 （填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展如图③，在四边形中，，以C为顶点作，边分别交于E，F两点，连接，此时 （填“＞”或“＝”或“＜“）； （4）若在图③的四边形中，且（3）中的结论仍然成立，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】（1）；；（2）＞；（3）；（4） 【详解】解（1）在与中， ， ∴， ∴ 在中， 即 ∴ ∴ 故答案为 （2）如图，延长至点G，使，连接 ∵点D是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 故答案为＞； （3）， 如图，延长至点G，使，连接， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为＝； （4）由（3）同理可得 ∴ 若则 ∴ ∴ ∴ 故答案为． 6．已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 1如图1，若，射线在内部，，求证，小明同学展示的做法是在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 2如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【答案】1见解析；2①②；的度数会变化，理由见解析 【详解】（1）证明如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）证明①在上取一点E，，如图所示 ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下 在延长线上取一点E，使得，如图所示 同理①的方法可证， ∴， ∴． 7． 1感知如图，平分，，易知（不需证明） 2探究如图，平分，，求证． 3应用如图，四边形中，，，，，求证． 【答案】1见解析；2见解析；3见解析 【详解】（1），， ， 平分， ， 在和中， ≌， ； （2）作于，于，如图所示 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ； （3）连接，作于点，如图所示 ， ， ， ， 在和中， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ． 8．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 1如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中一组全等三角形 2如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是 ． 【理解与应用】 3如图3，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长． 4如图4，是的中线，，点在的延长线上，，求证． 【答案】1