中考压轴题突破：几何最值问题大全将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等

中考压轴题突破几何最值问题大全（将军饮马、造桥中考压轴题突破几何最值问题大全（将军饮马、造桥 选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个所有问题的老祖宗只有两个 ①①[ [定点到定点定点到定点 ] ] 两点之间，两点之间，线段最短；线段最短；②②[ [定定 点到定线点到定线 ] ]点线之间，垂线段最短。点线之间，垂线段最短。 由此派生由此派生③③[ [定点到定点定点到定点 ] ] 三角形两边之和大于第三边；三角形两边之和大于第三边； ④④[ [定线到定线定线到定线 ] ] 平行线之间，垂线段最短；⑤平行线之间，垂线段最短；⑤[ [定点到定圆定点到定圆 ] ]点圆之间，点心线截距最短点圆之间，点心线截距最短 （长）；⑥（长）；⑥ [ [定线到定圆定线到定圆 ] ]线圆之间，心垂线截距最短；⑦线圆之间，心垂线截距最短；⑦[ [定圆到定圆定圆到定圆 ] ] 圆圆之间，连心线截距最短（长）。圆圆之间，连心线截距最短（长）。 余不赘述，下面仅举一例证明余不赘述，下面仅举一例证明[ [定点到定圆定点到定圆 ] ]点圆之间，点心线截距最点圆之间，点心线截距最 短（长）。短（长）。 已知⊙已知⊙ O O 半径为半径为 r r，，AOdAOd，，P P 是⊙是⊙O O 上一点，求上一点，求 APAP 的最大值和最小值。的最大值和最小值。 证明由“两点之间，线段最短”得证明由“两点之间，线段最短”得APAP≤≤AOPOAOPO，，AOAO≤≤APPOAPPO，得，得 d-rd-r≤≤APAP ≤≤drdr，，APAP 最小时点最小时点 P P 在在 B B 处，最大时点处，最大时点 P P 在在 C C 处。即过圆心和定点的直线处。即过圆心和定点的直线 截得的线段截得的线段 ABAB、、ACAC 分别最小、最大值。分别最小、最大值。 可用“三角形两边之和大于第三可用“三角形两边之和大于第三 边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上 述基本图形解决的。述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些 图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定 点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况类型分三种情况（（1 1）） 直接包含基本图形；（直接包含基本图形；（2 2）动点路径待确定；（）动点路径待确定；（3 3）动线（定点）位置需变）动线（定点）位置需变 换。换。 （一）直接包含基本图形（一）直接包含基本图形 例例 1.1.在⊙在⊙O O 中，圆的半径为中，圆的半径为 6 6，∠，∠B30B30，，ACAC 是⊙是⊙O O 的切线，则的切线，则 CDCD 的最小的最小 值是值是。。 简析由∠简析由∠ B30B30知弧知弧 ADAD 一定，所以一定，所以 D D 是定点，是定点，C C 是直线是直线 ACAC 上的动点，即上的动点，即 为求定点为求定点 D D 到定线到定线 ACAC 的最短路径，求得当的最短路径，求得当CDCD⊥⊥ACAC 时最短为时最短为 3 3。。 （二）动点路径待确定（二）动点路径待确定 例例 2.2.，如图，在△，如图，在△ ABCABC 中，∠中，∠ ACB90ACB90 ，，AB5AB5，，BC3BC3，，P P 是是 ABAB 边上的动点边上的动点 （不与点（不与点 B B 重合）重合），， 将△将△BCPBCP 沿沿 CPCP 所在的直线翻折，所在的直线翻折， 得到△得到△ B B′′CPCP，， 连接连接 B B′′ A A，则，则 B B′′A A 长度的最小值是长度的最小值是。。 简析简析 A A 是定点，是定点， BB是动点，但题中未明确告知是动点，但题中未明确告知BB点的运动路径，所以需点的运动路径，所以需 先确定先确定 BB点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中BB的路径的路径 是以是以 C C 为圆心，为圆心， BCBC 为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为 AC-BC1AC-BC1 。。 例例 3.3.在△在△ABCABC 中，中，ABAC5ABAC5 ，，coscos∠∠ABC3/5ABC3/5 ，将△，将△ ABCABC 绕点绕点 C C 顺时针旋转，顺时针旋转， 得到△得到△ ABCABC ，点，点 E E 是是 BCBC 上的中点，点上的中点，点 F F 为线段为线段 ABAB 上的动点，在△上的动点，在△ ABCABC 绕点绕点 C C 顺时针旋转过程中，点顺时针旋转过程中，点F F 的对应点是的对应点是 FF，求线段，求线段 EFEF长度的最大值长度的最大值 与最小值的差。与最小值的差。 简析简析 E E 是定点，是定点， FF是动点，要确定是动点，要确定 FF点的运动路径。先确定线段点的运动路径。先确定线段ABAB的的 运动轨迹是圆环，外圆半径为运动轨迹是圆环，外圆半径为BCBC，内圆半径为，内圆半径为 ABAB 边上的高，边上的高， FF是是 ABAB上上 任意一点，因此任意一点，因此 FF的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E E 到圆到圆 环的最短和最长路径。环的最短和最长路径。 E E 到到圆圆环环的的最最短短距距离离为为 EFEF 2 2CF CF 2 2-CE4.8-31.8 -CE4.8-31.8 ，，E E 到到圆圆环环的的最最长长距距离离为为 EFEF 1 1ECCF ECCF 1 1369 369 ，其差为，其差为 7.27.2。。 （三）动线（定点）位置需变换（三）动线（定点）位置需变换 线段变换的方法（线段变换的方法（ 1 1）等值变换翻折、平移；（）等值变换翻折、平移；（2 2）比例变换三角、）比例变换三角、 相似。相似。 【翻折变换类】典型问题“将军饮马”【翻折变换类】典型问题“将军饮马” 例例 4.4.如图，∠如图，∠ AOB30AOB30 ，点，点 M M、、N N 分别是射线分别是射线 OAOA、、OBOB 上的动点，上的动点， OPOP 平分∠平分∠ AOBAOB，且，且 OP6OP6，当△，当△ PMNPMN 的周长最小值为的周长最小值为。。 简析动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的